Question

如圖所示，過(guò)點(diǎn)F（0，1）的直線(xiàn)y=kx＋b與拋物線(xiàn)交于M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）兩點(diǎn)（其中x₁＜0，x₂＞0）．

⑴求b的值．

⑵求x₁•x₂的值

⑶分別過(guò)M、N作直線(xiàn)l：y=－1的垂線(xiàn)，垂足分別是M₁、N₁，判斷△M₁FN₁的形狀，并證明你的結(jié)論．

⑷對(duì)于過(guò)點(diǎn)F的任意直線(xiàn)MN，是否存在一條定直線(xiàn)m，使m與以MN為直徑的圓相切．如果有，請(qǐng)求出這條直線(xiàn)m的解析式；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：⑴b=1

⑵顯然和是方程組的兩組解，解方程組消元得，依據(jù)“根與系數(shù)關(guān)系”得=－4

⑶△M₁FN₁是直角三角形

由題知M₁的橫坐標(biāo)為x₁，N₁的橫坐標(biāo)為x₂，設(shè)M₁N₁交y軸于F₁，則F₁M₁•F₁N₁

=－x₁•x₂=4

而FF1=2，所以F₁M₁•F₁N₁=F₁F²，另有∠M₁F₁F=∠FF₁N₁=90°，易證Rt△M₁FF₁∽R(shí)t△N₁FF₁

得∠M₁FF₁=∠FN₁F₁，故∠M₁FN₁=∠M₁FF₁＋∠F₁FN₁=∠FN₁F₁＋∠F₁FN₁=90°，所以△M₁FN₁是直角三角形．

⑷ 存在，該直線(xiàn)為y=－1．理由如下：_——

直線(xiàn)y=－1即為直線(xiàn)M₁N_1．

如圖，設(shè)N點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則N點(diǎn)縱坐標(biāo)為,計(jì)算知NN₁=， NF=，得NN₁=NF

同理MM₁=MF．

那么MN=MM₁＋NN₁，作梯形MM₁N₁N的中位線(xiàn)PQ，由中位線(xiàn)性質(zhì)知PQ=

（MM₁＋NN₁）=MN，即圓心到直線(xiàn)y=－1的距離等于圓的半徑，所以y=－1總與該圓相切．