Question

16．如圖，直線y=-$\frac{3}{2}$x+6分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=-$\frac{1}{8}$x²+8，與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)P是拋物線在第一象限部分上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C．

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，8）；
（2）探究發(fā)現(xiàn)：
①假設(shè)P與點(diǎn)D重合，則PB+PC=10；（直接填寫答案）
②試判斷：對(duì)于任意一點(diǎn)P，PB+PC的值是否為定值？并說明理由；
（3）試判斷△PAB的面積是否存在最大值？若存在，求出最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案；
（2）①根據(jù)線段的和差，可得PB，可得答案；
②根據(jù)勾股定理，可得PB的長，根據(jù)線段和差，可得答案；
（3）根據(jù)面積的和差，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得最大值，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案．

解答 解：（1）y=-$\frac{3}{2}$x+6當(dāng)y=0時(shí)，x=4，即A（4，0），
y=-$\frac{1}{8}$x²+8當(dāng)x=0時(shí)，y=8，即D點(diǎn)坐標(biāo)（0，8），
故答案為：（4，0），（0，8）；
（2）①PB=PO-OB=8-6=2，PB+PC=8+2=10；
②是，理由如下：
過點(diǎn)P作PQ⊥y軸于點(diǎn)Q，
∵P在拋物線上，且在第一象限，
∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-$\frac{1}{8}$x²+8）．
則PQ=x，PC=-$\frac{1}{8}$x²+8．
當(dāng)4≤x＜8時(shí)，PB=$\sqrt{{x}^{2}+[6-（-\frac{1}{8}{x}^{2}+8）]^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{64}{x}^{4}+\frac{1}{2}{x}^{2}+4}$=$\frac{1}{8}$x²+2，
∴PB+PC=$\frac{1}{8}$x²+2+（-$\frac{1}{8}$x²）+8=10，
當(dāng)0＜x＜4時(shí)，同理可得；
（3）存在．
設(shè)△PAB的面積為S．
由（2）假設(shè)．
當(dāng)4≤x＜8時(shí)，有S=$\frac{（-\frac{1}{8}{x}^{2}+8+6）•x}{2}$-$\frac{4×6}{2}$-$\frac{（-\frac{1}{8}{x}^{2}+8）（x-4）}{2}$
=-$\frac{1}{4}$x²+3x+4=-$\frac{1}{4}$（x-6）²+13．
當(dāng)0＜x＜4時(shí)，s=-$\frac{1}{4}$（x-6）²+13．
當(dāng)x=6時(shí)，S_最大=13，y=-$\frac{1}{8}$×36+8=$\frac{7}{2}$，
∴△PAB的面積存在最大值，且最大值為13，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，$\frac{7}{2}$）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用勾股定理得出PB的長是解題關(guān)鍵；利用面積的和差得出二次函數(shù)是解題關(guān)鍵，又利用了二次函數(shù)的性質(zhì)．