Question

已知：如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，連接AE． O為AE中點(diǎn)，連接BO并延長(zhǎng)交AD于F．
（1）求證：△AOF≌△EOB，
（2）判斷當(dāng)AE平分∠BAD時(shí)，四邊形ABEF是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論．
（3）當(dāng)∠ABC=

 

時(shí)，四邊形AECD為等腰梯形（只寫(xiě)結(jié)論，不需證明）．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰梯形的判定,全等三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）先由平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠FAO=∠BEO，∠AFO=∠EBO，又O為AE中點(diǎn)，根據(jù)AAS即可證明△AOF≌△EOB；
（2）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AD∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線定義得出∠DAE=∠AEB=∠BAE，由等角對(duì)等邊得到AB=BE，根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形得出四邊形ABEF是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定推出即可；
（3）根據(jù)∠B=60°，AB=BE得出等邊三角形ABE，推出AB=AE=CD，根據(jù)BC∥AD和CE≠AD得出梯形AECD，根據(jù)等腰梯形的判定推出即可．

解答：（1）證明：∵?ABCD中，AD∥BC，
∴∠FAO=∠BEO，∠AFO=∠EBO．
在△AOF與△EOB中，

∠FAO=∠BEO ∠AFO=∠EBO OA=OE

，
∴△AOF≌△EOB（AAS）；

（2）解：四邊形ABEF是菱形，理由如下：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE．
由（1）知：△AOF≌△EOB，
∴OF=OB，
∵OA=OE，
∴四邊形ABEF是平行四邊形，
∵AB=BE，
∴平行四邊形ABEF是菱形；

（3）解：當(dāng)∠ABC為60度數(shù)時(shí)，四邊形AECD是等腰梯形，理由如下：
∵AD∥BC，AD≠CE，
∴四邊形AECD是梯形．
∵∠B=60°，由（2）知AB=BE，
∴△ABE是等邊三角形，
∴AB=AE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD=AE，
∴梯形AECD是等腰梯形．
故答案為60°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線定義，菱形的判定，等腰梯形的判定等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生的推理能力，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．