Question

19．在△ABC中，AB=AC，BC=12，∠B=30°，AB的垂直平分線DE交BC邊于點E，AC的垂直平分線MN交BC于點N．
（1）求△AEN的周長；
（2）求證：BE=EN=NC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EB=EA，NA=NC，根據(jù)三角形的周長公式計算即可；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)證明△AEN是等邊三角形，等量代換證明即可．

解答 （1）解：∵DE是AB的垂直平分線，
∴EB=EA，
∵MN是AC的垂直平分線，
∴NA=NC，
則△AEN的周長=AE+AN+EN=BE+EN+NC=BC=12；
（2）證明：∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠C=∠B=30°，
∵EB=EA，NA=NC，
∴∠EAB=∠B=30°，∠NAC=∠C=30°，
∴∠AEN=∠EAB+∠B=60°，∠ANE=∠NAC+∠C=60°，
∴△AEN是等邊三角形，
∴BE=EN=NC．

點評 本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．