【題目】如圖1,在四邊形ABCD中,AB=AD. ∠B+∠ADC=180°,點E,F(xiàn)分別在四邊形ABCD的邊BC,CD上,∠EAF=∠BAD,連接EF,試猜想EF,BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系.

圖1 圖2 圖3

(1)思路梳理

將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ADG,使AB與AD重合.由∠B+∠ADC=180°,得∠FDG=180°,即點F,D,G三點共線. 易證△AFG ,故EF,BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系為 ;

(2)類比引申

如圖2,在圖1的條件下,若點E,F(xiàn)由原來的位置分別變到四邊形ABCD的邊CB,DC的延長線上,∠EAF=∠BAD,連接EF,試猜想EF,BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系,并給出證明.

(3)聯(lián)想拓展

如圖3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D,E均在邊BC上,且∠DAE=45°. 若BD=1,EC=2,則DE的長為 .

【答案】(1)△AFE. EF=BE+DF.(2)BF=DF-BE,理由見解析;(3)

【解析】試題分析:1)先根據(jù)旋轉(zhuǎn)得: 計算 即點共線,再根據(jù)SAS證明△AFE≌△AFG,EF=FG,可得結(jié)論EF=DF+DG=DF+AE;
2)如圖2,同理作輔助線:把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ADG,證明△EAF≌△GAF,EF=FG,所以EF=DFDG=DFBE;
3)如圖3,同理作輔助線:把△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ACG,證明△AED≌△AEG,,先由勾股定理求的長,從而得結(jié)論.

試題解析:(1)思路梳理:

如圖1,把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ADG,可使ABAD重合,即AB=AD

由旋轉(zhuǎn)得:∠ADG=A=,BE=DG,DAG=BAE,AE=AG,

∴∠FDG=ADF+ADG=+=,

即點F. D.G共線,

∵四邊形ABCD為矩形,

∴∠BAD=,

∵∠EAF=,

在△AFE和△AFG中,

∴△AFE≌△AFG(SAS),

EF=FG,

EF=DF+DG=DF+AE;

故答案為:△AFE,EF=DF+AE;

(2)類比引申:

如圖2,EF=DFBE,理由是:

把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ADG,可使ABAD重合,則GDC上,

由旋轉(zhuǎn)得:BE=DGDAG=BAE,AE=AG,

∵∠BAD=,

∴∠BAE+BAG=

∵∠EAF=,

∴∠FAG==,

∴∠EAF=FAG=

在△EAF和△GAF中,

∴△EAF≌△GAF(SAS),

EF=FG,

EF=DFDG=DFBE;

(3)聯(lián)想拓展:

如圖3,把△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ACG,可使ABAC重合,連接EG,

由旋轉(zhuǎn)得:AD=AG,BAD=CAGBD=CG,

∵∠BAC=AB=AC,

∴∠B=ACB=,

∴∠ACG=B=,

∴∠BCG=ACB+ACG=+=

EC=2,CG=BD=1,

由勾股定理得:

∵∠BAD=CAG,BAC=,

∴∠DAG=,

∵∠BAD+EAC=,

∴∠CAG+EAC==EAG,

∴∠DAE=

∴∠DAE=EAG=,

AE=AE,

∴△AED≌△AEG

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(1)

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∴∠___AEF,___= EFD____________

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