Question

20．如圖，AB為⊙O的直徑，BC、AD是⊙O的切線，過O點作EC⊥OD，EC交BC于C，交直線AD于E．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AE=1，AD=3，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）首先作OH⊥CD，垂足為H，由BC、AD是⊙O的切線，易證得△BOC≌△AOE（ASA），繼而可得OD是CE的垂直平分線，則可判定DC=DE，即可得OD平分∠CDE，則可得OH=OA，證得CD是⊙O的切線；
（2）首先證得△AOE∽△ADO，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得OA的長，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)，求得∠DOA的度數(shù)，繼而求得答案．

解答 （1）證明：作OH⊥CD，垂足為H，
∵BC、AD是⊙O的切線，
∴∠CBO=∠OAE=90°，
在△BOC和△AOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBO=∠OAE}\\{OB=OA}\\{∠BOC=∠AOE}\end{array}\right.$，
∴△BOC≌△AOE（ASA），
∴OC=OE，
又∵EC⊥OD，
∴DE=DC，
∴∠ODC=∠ODE，
∴OH=OA，
∴CD是⊙O的切線；

（2）∵∠E+∠AOE=90°，∠DOA+∠AOE=90°，
∴∠E=∠DOA，
又∵∠OAE=∠ODA=90°，
∴△AOE∽△ADO，
∴$\frac{EA}{OA}$=$\frac{OA}{AD}$，
∴OA²=EA•AD=1×3=3，
∵OA＞0，
∴OA=$\sqrt{3}$，
∴tanE=$\frac{OA}{AE}$=$\sqrt{3}$，
∴∠DOA=∠E=60°，
∵DA=DH，∠OAD=∠OHD=90°，
∴∠DOH=∠DOA=60°，
∴S_陰影部分=$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{3}$-$\frac{120×π×（\sqrt{3}）^{2}}{360}$=3$\sqrt{3}$-π．

點評 此題考查了切線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．