Question

【題目】定義：若△ABC中，其中一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的一半，則稱△ABC為“半角三角形”．根據(jù)此定義，完成下面各題：

（1）若△ABC為半角三角形，且∠A＝90°，則△ABC中其余兩個(gè)角的度數(shù)為　 　；

（2）若△ABC是半角三角形，且∠C＝40°，則∠B　 　；

（3）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠C＝72°，點(diǎn)E在邊CD上，以BE為折痕，將△BCE向上翻折，點(diǎn)C恰好落在AD邊上的點(diǎn)F，若BF⊥AD，則△EDF是半角三角形嗎？若是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）45°，45°或30°，60°；（2）20°，80°，60°，120°，°或°；（3）△EDF是半角三角形，理由見解析

【解析】

（1）分兩種情況進(jìn)行解答，①若另一個(gè)銳角等于∠A＝90°的一半，②若除∠A以外的兩個(gè)角中，有一個(gè)角是另一個(gè)的一半，根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°，進(jìn)行解答，

（2）分六種情況進(jìn)行討論解答，把其中的一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的一半的情況都進(jìn)行考慮，分別求出相應(yīng)的角的度數(shù)．

（3）根據(jù)題意分別求出三角形DEF的各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，結(jié)合“半角三角形”的意義進(jìn)行判斷．

解：（1）①若另一個(gè)銳角等于∠A＝90°的一半，則這個(gè)角為45°，第三角為45°，

②若除∠A以外的兩個(gè)角中，有一個(gè)角是另一個(gè)的一半，則有較小的角為（180°﹣90°）÷（1+2）＝30°．

那么較大的角為60°，

故答案為：45°，45°或30°，60°，

（2）根據(jù)題意有以下幾種情況：

①若∠B＝∠C，則∠B＝20°，

②若∠C＝∠B，則∠B＝80°，

③若∠A＝∠C，則∠A＝20°，∠B＝120°，

④若∠C＝∠A，則∠A＝80°，∠B＝60°，

⑤若∠B＝∠A，則∠B＝（180°﹣40°）÷3＝，

⑥若∠A＝∠B，則∠B＝（180°﹣40°）÷3×2＝，

（3）∵AB∥CD，AD∥BC，∠C＝72°，

∴ABCD是平行四邊形，

∴∠C＝∠A＝72°，∠D＝∠ABC＝180°﹣72°＝108°，

由折疊得，∠C＝∠BFE＝72°，

∵BF⊥AD，

∴∠AFB＝90°，

∴∠DFE＝180°﹣90°﹣72°＝18°，

∴∠DEF＝180°﹣108°﹣18°＝54°

∴∠DEF＝∠D，

∴△EDF是半角三角形．