Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2﹣2x﹣3經(jīng)過x軸上的A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，線段BC與拋物線的對稱軸相交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為y軸上的一個動點(diǎn)．

（1）求直線BC的函數(shù)解析式，并求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為為m，在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中，當(dāng)△BDE中為鈍角三角形時(shí)，求m的取值范圍；

（3）如圖2，連結(jié)DE，將射線DE繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，與拋物線交點(diǎn)為G，連結(jié)EG，DG得到Rt△GED．在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中，是否存在這樣的Rt△GED，使得兩直角邊之比為2：1？如果存在，求出此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） y=x﹣3，D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣2）；（2） m＞3或m＜﹣1且m≠﹣3；（3）存在． G點(diǎn)坐標(biāo)為（1）或（3，0）或（1）或（﹣1，0）．

【解析】

（1）先根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問題求出A（﹣1，0），B（3，0），利用對稱性可得拋物線的對稱軸為直線x=1，再求出C（0，﹣3），然后利用待定系數(shù)法求直線BC的解析式；當(dāng)x=1時(shí)，y=x﹣3=﹣2，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣2）；

（2）如圖1，先判斷△OBC為等腰直角三角形，則∠OCB=∠OBC=45°，再計(jì)算出CD，然后通過求出△BDE為直角三角形時(shí)m的值來確定△BDE為鈍角三角形時(shí)m的取值范圍；

（3）分類討論：①當(dāng)點(diǎn)G在對稱軸右側(cè)的拋物線上時(shí)，如圖2，作DF⊥y軸于F，GH⊥DF于H，設(shè)G（t，t2﹣2t﹣3），則GH=t2﹣2t﹣3﹣（﹣2）=t2﹣2t﹣1，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠EDG=90°，接著證明Rt△EDF∽Rt△DGH，利用相似的性質(zhì)得，分2和，列方程求出t的值，進(jìn)而求出G的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)G在對稱軸左側(cè)的拋物線上時(shí)，用同樣的方法可得G點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）當(dāng)y=0時(shí)，x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，則A（﹣1，0），B（3，0），所以拋物線的對稱軸為直線x=1，當(dāng)x=0時(shí)，y=x2﹣2x﹣3=﹣3，則C（0，﹣3）．

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，把B（3，0），C（0，﹣3）代入得：，解得：，所以直線BC的解析式為y=x﹣3；

當(dāng)x=1時(shí)，y=x﹣3=1﹣3=－2，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣2）；

（2）如圖1．

∵B（3，0），C（0，﹣3），∴△OBC為等腰直角三角形，∴∠OCB=∠OBC=45°．

∵D（1，﹣2），∴CD，當(dāng)∠EDB=90°時(shí)，則△CDE為等腰直角三角形，∴CECD2，∴OE=3﹣2=1，此時(shí)E（0，﹣1），∴當(dāng)m＜﹣1且m≠﹣3時(shí)，∠EDB為鈍角，△EDB為鈍角三角形；

當(dāng)∠EBD=90°時(shí)，則△OBE為等腰直角三角形，∴OE=OB=3，此時(shí)E（0，3），∴當(dāng)m＞3時(shí)，∠EDB為鈍角，△EDB為鈍角三角形；

∴m的取值范圍為m＞3或m＜﹣1且m≠﹣3；

（3）存在．

①當(dāng)點(diǎn)G在對稱軸右側(cè)的拋物線上時(shí)，如圖2，作DF⊥y軸于F，GH⊥DF于H，設(shè)G（t，t2﹣2t﹣3），則GH=t2﹣2t﹣3﹣（﹣2）=t2﹣2t﹣1．

∵射線DE繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，與拋物線交點(diǎn)為G，∴∠EDG=90°，∴∠EDF+∠GDH=90°，而∠EDF+∠DEF=90°，∴∠DEF=∠GDH，∴Rt△EDF∽Rt△DGH，∴，分兩種情況討論：

i）若2，則2，即t2﹣2t﹣1，解得：t1=1（舍去），t2=1，此時(shí)G點(diǎn)坐標(biāo)為（1）；

ii）若，則，即t2﹣2t﹣1=2，解得：t1=﹣1（舍去），t2=3，此時(shí)G點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）；

②當(dāng)點(diǎn)G在對稱軸左側(cè)的拋物線上時(shí)，用同樣的方法可得G點(diǎn)坐標(biāo)為（1）或（﹣1，0）．

綜上所述：G點(diǎn)坐標(biāo)為（1）或（3，0）或（1）或（﹣1，0）．