Question

【題目】如圖，是的直徑，、是弧（異于、）上兩點，是弧上一動點，的角平分線交于點，的平分線交于點．當點從點運動到點時，則、兩點的運動路徑長的比是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

連接BE，由題意可得點E是△ABC的內心，由此可得∠AEB＝135°，為定值，確定出點E的運動軌跡是是弓形AB上的圓弧，此圓弧所在圓的圓心在AB的中垂線上，根據題意過圓心O作直徑CD，則CD⊥AB，在CD的延長線上，作DF＝DA，則可判定A、E、B、F四點共圓，繼而得出DE＝DA＝DF，點D為弓形AB所在圓的圓心，設⊙O的半徑為R，求出點C的運動路徑長為，DA＝R，進而求出點E的運動路徑為弧AEB，弧長為，即可求得答案.

連結BE，

∵點E是∠ACB與∠CAB的交點，

∴點E是△ABC的內心，

∴BE平分∠ABC，

∵AB為直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠AEB＝180°－(∠CAB+∠CBA)＝135°，為定值，，

∴點E的軌跡是弓形AB上的圓弧，

∴此圓弧的圓心一定在弦AB的中垂線上，

∵，

∴AD=BD，

如下圖，過圓心O作直徑CD，則CD⊥AB，

∠BDO＝∠ADO＝45°，

在CD的延長線上，作DF＝DA，

則∠AFB＝45°，

即∠AFB+∠AEB＝180°，

∴A、E、B、F四點共圓，

∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°，

∴DE＝DA＝DF，

∴點D為弓形AB所在圓的圓心，

設⊙O的半徑為R，

則點C的運動路徑長為：，

DA＝R，

點E的運動路徑為弧AEB，弧長為：，

C、E兩點的運動路徑長比為：，

故選A.