Question

（2013•德陽(yáng)）如圖，已知AB是⊙O直徑，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線與ED的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P．
（1）求證：PC=PG；
（2）點(diǎn)C在劣弧AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，其他條件不變，若點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，試探究CG、BF、BO三者之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過(guò)程；
（3）在滿足（2）的條件下，已知⊙O的半徑為5，若點(diǎn)O到BC的距離為

5

時(shí)，求弦ED的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連結(jié)OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得OC⊥PC，則∠OCG+∠PCG=90°，由ED⊥AB得∠B+∠BGF=90°，而∠B=∠OCG，所以∠PCG=∠BGF，根據(jù)對(duì)頂角相等得∠BGF=∠PGC，
于是∠PGC=∠PCG，所以PC=PG；
（2）連結(jié)OG，由點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理的推論得OG⊥BC，BG=CG，易證得Rt△BOG∽R(shí)t△BGF，則BG：BF=BO：BG，即BG²=BO•BF，把BG用CG代換得到CG²=BO•BF；
（3）解：連結(jié)OE，OG=OG=

5

，在Rt△OBG中，利用勾股定理計(jì)算出BG=2

5

，再利用BG²=BO•BF可計(jì)算出BF，從而得到OF=1，在Rt△OEF中，根據(jù)勾股定理計(jì)算出EF=2

6

，由于AB⊥ED，根據(jù)垂徑定理可得EF=DF，于是有DE=2EF=4

6

．

解答：（1）證明：連結(jié)OC，如圖，
∵PC為⊙O的切線，
∴OC⊥PC，
∴∠OCG+∠PCG=90°，
∵ED⊥AB，
∴∠B+∠BGF=90°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCG，
∴∠PCG=∠BGF，
而∠BGF=∠PGC，
∴∠PGC=∠PCG，
∴PC=PG；

（2）解：CG、BF、BO三者之間的數(shù)量關(guān)系為CG²=BO•BF．理由如下：
連結(jié)OG，如圖，
∵點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，
∴OG⊥BC，BG=CG，
∴∠OGB=90°，
∵∠OBG=∠GBF，
∴Rt△BOG∽R(shí)t△BGF，
∴BG：BF=BO：BG，
∴BG²=BO•BF，
∴CG²=BO•BF；

（3）解：連結(jié)OE，如圖，
由（2）得OG⊥BC，
∴OG=

5

，
在Rt△OBG中，OB=5，
∴BG=

OB2-OG2

=2

5

，
由（2）得BG²=BO•BF，
∴BF=

20

5

=4，
∴OF=1，
在Rt△OEF中，EF=

OE2-OF2

=2

6

，
∵AB⊥ED，
∴EF=DF，
∴DE=2EF=4

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了垂徑定理以及推論、勾股定理以及三角形相似的判定與性質(zhì)．