Question

如圖，⊙O在直角坐標系中是一個以原點為圓心，半徑為4的圓，AB是過圓心O的直徑，點P從點B出發(fā)沿圓O做勻速運動，過點P作PC垂直于半徑AB，PC的長度隨著點P的運動而變化．（各組數(shù)據(jù)已標出）
（1）當P點的位置如圖①時，求∠OPC和∠POC的度數(shù)．
（2）當P點的位置如圖①時，求PC的值．
（3）探究：PC的長度隨著∠POC的變化而變化，設PC的值為y，∠POC為x，請求出y關于x的函數(shù)，并畫出函數(shù)圖象．（直接寫出答案，函數(shù)圖象畫在圖②中）
（4）求出第（3）題中的x的取值范圍．（直接寫出答案）
（5）求出該函數(shù)圖象的對稱軸．（直接寫出答案，答案請用含有π的式子表示）

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）易得△OPC為直角三角形，要求其內角∠OPC和∠POC的度數(shù)必須知道其邊長，由圓性質易知，OP=4，OC=2，由含30°角的直角三角形性質可知，∠OPC=30°，∠POC=60°．
（2）在Rt△POC中，OP，OC邊長已知，由勾股定理即可得到PC邊長．
（3）在Rt△POC中，PC=OP•sin∠COP．對∠COP而言，這里認為是可以有正負的，如OP順時針由OB到OA的過程就是∠COP從0°到180°的過程，繼續(xù)順時針繞回OB，則為180°到360°的過程，同理可繼續(xù)順時針繞下去，角度無限變大，而逆時針轉的過程就定義為從0°到負無窮的過程．又由有OP=4，則y=4sinx．
（4）正如（3）所解釋，∠COP可從負無窮取到正無窮，即x可取任意實數(shù)．
（5）注意此函數(shù)的取值范圍是所有實數(shù)，所以對本圖象而言，對稱軸有無限個，都為函數(shù)取到最大值或最小值的位置．

解答：解：
（1）
在Rt△POC中，
∵OP=4，OC=2，
∴利用直角三角形中，30°所對的直角邊是斜邊的一半，可得∠OPC=30°，
∴∠POC=90°-∠OPC=90°-30°=60°．

（2）
在Rt△POC中，
∵OP=4，OC=2，
∴PC=

42-22

=2

3

．

（3）
y=4sinx，圖象如下：


（4）
x可取任意實數(shù)．

（5）
觀察函數(shù)圖象可知，對x=90°±180°•k（k為整數(shù)）都為圖象的對稱軸，
∵π=180°，
∴90°=

π

2

，
即，對稱軸為x=

π

2

±kπ（k為整數(shù)）．

點評：本題考查了三角函數(shù)圖象，對于已經設計此內容的教材來說，本題考點也是很基礎的，但容易犯很多小錯誤．而對于未涉及此內容的教材版本，本題中角度理解由原本的0°～360°廣義理解為全體實數(shù)有一定困難．