【題目】已知點C為線段AB上一點,分別以ACBC為邊在線段AB的同側(cè)作△ACD和△BCE,且CA=CD,CB=CE,∠ACD=BCE,直線AEBD交于點F

1)如圖1,若∠ACD=60°,則∠AFB=______,如圖2,若∠ACD=90°,則∠AFB=______,如圖3,若∠ACD=α,則∠AFB=______(用含α的式子表示);

2)設(shè)∠ACD=α,將圖3中的△ACD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)任意角度(交點F至少在BD、AE中的一條線段上),如圖4,試探究∠AFBα的數(shù)量關(guān)系,并予以說明.

【答案】1120°,90°,180°-α;(2)∠AFB=180°-α,理由見解析

【解析】

1)如圖1,先根據(jù)SAS證明BCD≌△ECA,從而得到∠EAC=BDC,再根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出其度數(shù).如圖2,先根據(jù)HL證明ACE≌△DCB,從而得到∠AEC=DBC,進而得出∠AFB的度數(shù).如圖3,由∠ACD=BCE得到∠ACE=DCB,再由三角形的內(nèi)角和定理得∠CAE=CDB,從而得出∠DFA=ACD,從而求得∠AFB
2)由∠ACD=BCE得到∠ACE=DCB,再根據(jù)SAS證明ACE≌△DCB,從而得到∠CBD=CEA,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到結(jié)論.

1)如圖1CA=CD,∠ACD=60°

ACD是等邊三角形.

CB=CE,∠ACD=BCE=60°,

ECB是等邊三角形.

AC=DC,∠ACE=ACD+DCE,∠BCD=BCE+DCE,

又∵∠ACD=BCE,

∴∠ACE=BCD

AC=DC,CE=BC,

∴△ACE≌△DCBSAS).

∴∠EAC=BDC

又∵∠AFBADF的外角.

∴∠AFB=ADF+FAD=ADC+CDB+FAD=ADC+EAC+FAD=ADC+DAC=120°

如圖2,∵AC=CD,∠ACE=DCB=90°,EC=CB,

∴△ACE≌△DCBHL).

∴∠AEC=DBC,

又∵∠FDE=CDB,∠DCB=90°

∴∠EFD=90°

∴∠AFB=90°

如圖3,∵∠ACD=BCE

∴∠ACD+DCE=BCE+DCE

∴∠ACE=DCB

∴∠CAE=CDB

∴∠DFA=ACD

∴∠AFB=180°-DFA=180°-ACD=180°-α

2)∠AFB=180°-α;理由如下:

證明:∵∠ACD=BCE=α,

∴∠ACD+DCE=BCE+DCE,即∠ACE=DCB

ACEDCB中,

,

∴△ACE≌△DCBSAS).

∴∠CBD=CEA,

∴∠EFB=ECB=α

∴∠AFB=180°-EFB=180°-α

練習(xí)冊系列答案
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A. 8B. 6C. D. 2

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