Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過M（1，0）和N（3，0）兩點，且與y軸交于D（0，3），直線l是拋物線的對稱軸．
（1）求該拋物線的解析式．
（2）若過點A（-1，0）的直線AB與拋物線的對稱軸和x軸圍成的三角形面積為6，求此直線的解析式．
（3）點P在拋物線的對稱軸上，⊙P與直線AB和x軸都相切，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)圖象過x軸上兩點M（1，0）和N（3，0），設(shè)出函數(shù)兩點式，將D（0，3）代入解析式，求出a的值，即可求出函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)過點A（-1，0）的直線AB與拋物線的對稱軸和x軸圍成的三角形面積為6，再由AC=3，BC=4，求出B點坐標，利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)解析式；
（3）設(shè)⊙P與AB相切于點Q，與x軸相切于點C；證出△ABC∽△PBQ，得到

BQ

BC

=

PQ

AC

=

PC

AC

，求出PC的長，即可求出P點坐標．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過M（1，0）和N（3，0）兩點，且與y軸交于D（0，3），
∴假設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=a（x-1）（x-3），
將D（0，3），代入y=a（x-1）（x-3），
得：3=3a，∴a=1，
∴拋物線的解析式為：y=a（x-1）（x-3）=x²-4x+3；

（2）∵過點A（-1，0）的直線AB與拋物線的對稱軸和x軸圍成的三角形面積為6，
∴

1

2

AC×BC=6，
∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過M（1，0）和N（3，0）兩點，
∴二次函數(shù)對稱軸為x=2，
∴AC=3，
∴BC=4，
∴B點坐標為：（2，4）或（2，-4），
一次函數(shù)解析式為；y=kx+b，當點B為（2，4）時，
∴

4=2k+b 0=-k+b

，
解得：

k= 4 3 b= 4 3

，
∴y=

4

3

x+

4

3

；
當點B為（2，-4）時，

-4=2k+b 0=-k+b

，
解得

k=- 4 3 b=- 4 3

，
∴y=-

4

3

x-

4

3

，
∴直線AB的解析式為：y=

4

3

x+

4

3

或y=-

4

3

x-

4

3

；

（3）∵當點P在拋物線的對稱軸上，⊙P與直線AB和x軸都相切，
設(shè)⊙P與AB相切于點Q，與x軸相切于點C；
∴PQ⊥AB，AQ=AC，PQ=PC，
∵AC=1+2=3，BC=4，
∴AB=5，AQ=3，
∴BQ=2，
∵∠QBP=∠ABC，
∠BQP=∠ACB，
∴△ABC∽△PBQ，
∴

BQ

BC

=

PQ

AC

=

PC

AC

，
∴

2

4

=

PC

3

，
∴PC=1.5，
P點坐標為：（2，1.5），
同理可得（2，-1•5），（2，-6），（2，6）．

點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的解析式及相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．