Question

1．如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，如點P由點B出發(fā)向點A勻速運動，同時點Q從點A出發(fā)沿AC向C勻速運動，它們的速度均為1cm/s，連接PQ，設運動時間為t（單位：s）（0≤t≤4）．
（1）當t何值時，PQ∥BC？
（2）設△AQP面積為S（單位cm²），當t為何值時，S取最大值，并求出最大值．
（3）是否存在某個時刻t，使線段PQ把△ABC面積平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據平行線分線段成比例定理列出比例式，計算即可；
（2）根據相似三角形的性質列出比例式，得到二次函數的解析式，根據二次函數的性質求出最大值；
（3）根據題意列出一元二次方程，根據一元二次方程根的判別式判斷根的情況，得到答案．

解答 解：由題意得，BP=AQ=t，
則AP=5-t，CQ=4-t，
∵∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，
∴BC=3cm，
（1）當PQ∥BC時，$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AC}$，即$\frac{5-t}{5}$=$\frac{t}{4}$，
解得，t=$\frac{20}{9}$，
當t=$\frac{20}{9}$時，PQ∥BC；
（2）作PH⊥AC于H，
則PH∥BC，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{PH}{BC}$，即$\frac{5-t}{5}$=$\frac{PH}{3}$，
解得，PH=3-$\frac{3}{5}$t，
∴△AQP面積為S=$\frac{1}{2}×$AQ×PH=$\frac{1}{2}$×t×（3-$\frac{3}{5}$t）=$-\frac{3}{10}$t²+$\frac{3}{2}$t=$-\frac{3}{10}$（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{15}{8}$，
∴當t=$\frac{5}{2}$時，S取最大值，最大值為$\frac{15}{8}$；
（3）不存在某個時刻t，使線段PQ把△ABC面積平分．
線段PQ把△ABC面積平分，即△AQP面積=$\frac{1}{2}$×△ABC面積，
△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×AC×BC=6，
∴$-\frac{3}{10}$t²+$\frac{3}{2}$t=3，
整理得，t²-5t+10=0，
△=（-5）²-4×1×10=25-40＜0，
∴方程沒有實數根，
∴不存在某個時刻t，使線段PQ把△ABC面積平分．

點評 本題考查的是相似三角形的性質、二次函數的性質以及一元二次方程根的判別式的應用，掌握相似三角形的判定定理和性質定理、根據題意列出二次函數解析式是解題的關鍵．