Question

如圖，點(diǎn)A、P、B、C在⊙O上，∠APB=120°，．
（1）判斷△ABC形狀并說明理由；
（2）如果⊙O的半徑是2，sin∠ACP=，求AP的長(zhǎng)度；
（3）線段PA、PB、PC之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）此題先根據(jù)∠APB=120°，得出：∠ACB的值，再，得出AC=BC，即可得出△ABC是等邊三角形；
（2）先作直徑AD，連接PD，根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等，得出∠D=∠ACP，然后得出sinD=sin∠ACP的值，最后得出AP的長(zhǎng)度；
（3）延長(zhǎng)BP使PD=PA，連接AD，證明△BAD≌△ACP即可解答．
解答：解：（1）△ABC是等邊三角形．
證明：∵∠ACB=180°-∠APB=180°-120°=60°
∵
∴AC=BC
∴△ABC是等邊三角形；

（2）作直徑AD，連接PD．
∵∠D=∠ACP
∴sinD=sin∠ACP==
∴AP=AD=1．

（3）猜想：PC=BP+AP
證明：作直徑PD，連接AD，BD．
設(shè)∠ACP=α，則∠ADP=∠ACP=α，∠BDP=∠ADB-∠ADP=60°-α．
∵PD是直徑，
∴∠PBD=90°，
∴PB=PD•sin∠BDP=2R•sin（60°-α）
=2R•（sin60°•cosα-cos60°•sinα）
=2R•（•cosα-sinα）
=R•cosα-R•sinα…①，
同理，PC=2R•sin（60°+α）=R•cosα+R•sinα…②，
PA=R•sinα…③
②-①得：PC-PB=2R•sinα=PA．
∴CP=BP+AP．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓周角定理與全等三角形的判定，利用三角形的全等得出線段相等是解題的關(guān)鍵．