Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M點在線段CA上，從C向A運動，速度為1米/秒；同時N點在線段AB上，從A向B運動，速度為2米/秒．運動時間為t秒．

（1）當t為何值時，∠AMN=∠ANM？

（2）當t為何值時，△AMN的面積最大？并求出這個最大值．

Answer 1

【答案】（1）當t為4時，∠AMN=∠ANM．（2）當t=6時，S最大值=平方米．

【解析】

試題分析：（1）用t表示出AM和AN的值，根據(jù)AM=AN，得到關于t的方程求得t值即可；

（2）作NH⊥AC于H，證得△ANH∽△ABC，從而得到比例式，然后用t表示出NH，從而計算其面積得到有關t的二次函數(shù)求最值即可．

解：（1）∵從C向A運動，速度為1米/秒；同時N點在線段AB上，從A向B運動，速度為2米/秒．運動時間為t秒．

∴AM=12﹣t，AN=2t

∵∠AMN=∠ANM

∴AM=AN，從而12﹣t=2t

解得：t=4 秒，

∴當t為4時，∠AMN=∠ANM．

（2）在Rt△ABC中

∵AB2=BC2+AC2

∴AB=13米

如圖，作NH⊥AC于H，

∴∠NHA=∠C=90°，

∵∠A是公共角，

∴△NHA∽△BCA

∴=，

即：=，

∴NH=

從而有S△AMN=（12﹣t）=﹣t2+，

∴當t=6時，S最大值=平方米．