【題目】綜合與實(shí)踐

旋轉(zhuǎn)是圖形變化的方法之一,借助旋轉(zhuǎn)知識(shí)可以解決線段長(zhǎng)、角的大小、取值范圍、判斷三角形形狀等問題,在實(shí)際生活中也有著十分重要的地位和作用.

問題背景

一塊等邊三角形建筑材料內(nèi)一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離滿足一定條件時(shí),我們可以用所學(xué)的知識(shí)幫助工人師傅在沒有刻度尺的情況下求出等邊三角形的邊長(zhǎng).

數(shù)學(xué)建模

如圖,等邊三角形內(nèi)有一點(diǎn),已知,.

問題解決

1)如圖,將ABP繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CBP′,連接,易證∠BP′P=__°,____為等邊三角形,____,___°.

2)點(diǎn)H為直線BP′上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則的最小值為______;

3)求長(zhǎng);

拓展延伸

己知:點(diǎn)在正方形內(nèi),點(diǎn)在平面內(nèi),,.

4)在圖中,連接PAPC、PQ、QC,若點(diǎn)、在一條直線上,則____.

5)若,連接,則____________;連接,當(dāng)、三點(diǎn)在同一條直線上時(shí),△BDQ的面積為______.

【答案】160°,△BPP,∠CPP,150;(2;(3;(4;(5,

【解析】

1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BP=BP′,∠PBP′=60°,AP=P′C,∠APB=BP′C,即可求出∠BP′P=60°,即可得BP′P是等邊三角形,根據(jù)勾股定理的逆定理可得∠CP′P=90°,即可得∠CP′B的度數(shù),根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得∠APB=CP′B,即可得∠APB的度數(shù);(2)過CCHBP′,交BP′的延長(zhǎng)線于H,根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出CH的值即為最小值;(3)利用勾股定理可求出HP′的長(zhǎng),即可得BH的長(zhǎng),利用勾股定理求出BC的長(zhǎng)進(jìn)而可得答案;(4)由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠BPQ=BQP=45°,PQ=,根據(jù)兩銳角互余的關(guān)系可得∠CBQ=ABP,利用SAS可證明ABPCBQ,進(jìn)而可得PA=CQ,∠BQC=BPA=135°,可得∠PQC=90°,利用勾股定理可求出PC的長(zhǎng),根據(jù)余弦的定義即可得答案;(5)連接BD,以B為圓心,1為半徑畫圓,交BDP,交ABBCE、F,連接DF,則OP為最小值,根據(jù)正方形的性質(zhì)及勾股定理求出DP、DF的值即可;當(dāng)D、P、Q在同一條直線上時(shí),過BBMDQ,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得BM=QM=PQ,利用勾股定理可求出DM的長(zhǎng),進(jìn)而可得DQ的長(zhǎng),利用三角形面積公式即可得答案.

1)∵ABP繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CBP′,

BP=BP′=4,∠PBP′=60°,AP=P′C=2,∠APB=BP′C,

∴∠BP′P=60°,

BP′P是等邊三角形,

PP′=BP=4

PC2=(2)2=28,PP′2=42=16,P′C2=(2)2=12,

PC2= PP′2+ P′C2

PP′C是直角三角形,∠CP′P=90°

∴∠BP′C=CP′P+BP′P=90°+60°=150°,

∴∠APB=BP′C=150°,

故答案為:60°BP′P,∠CP′P150°

2)過CCHBP′,交BP′的延長(zhǎng)線于H

∵∠BP′C=150°,

∴∠P′HC=180°-150°=30°

CH=P′C=,

故答案為:

3)∵CH=,P′C=PA=2,

P′H==3,

BC===2,

AB=BC=2.

4)∵BP=BQ=1,BQBP

∴∠BPQ=BQP=45°,PQ=

∴∠APB=135°,

∵∠ABP+PBC=90°,∠CBQ+PBC=90°,

∴∠ABP=CBQ,

AB=BC,∠ABP=CBQBQ=BP,

ABPCBQ,

QC=AP=,∠BQC=APB=135°,

∴∠PQC=90°,

PC==,

cosPCQ===,

故答案為:

5)如圖,連接BD,以B為圓心,1為半徑畫圓,交BDP,交AB、BCE、F,連接DF,

BP=1,

∴點(diǎn)P在以B為圓心,1為半徑的圓上,

DP為最小值,

AB=AD=2,

BD=2,

DP=BD-BP=2-1,

BF=1,CD=2

DF=,

∵點(diǎn)P在正方形內(nèi),

2-1≤DP<,

如圖,當(dāng)D、P、Q在同一條直線上時(shí),過BBMDQ,

BQ=BP=1,BQBP,

BM=QM=PQ=,

DM==,

DQ=DM+QM=+=,

SBDQ=××=,

故答案為:2-1,,

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】如圖, ,,直線經(jīng)過點(diǎn).設(shè),于點(diǎn),將射線繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),與直線交于點(diǎn).

(1)當(dāng)時(shí), ;

(2)求證: ;

(3)的外心在其內(nèi)部,直接寫出的取值范圍.

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【題目】如圖,在矩形ABCDAB=,BC=1,將矩形ABCD繞頂點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得到矩形A'BC'D,點(diǎn)A恰好落在矩形ABCD的邊CD上,則AD掃過的部分(即陰影部分)面積為( 。

A. B. C. D.

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【題目】主題班會(huì)上,王老師出示了如圖所示的一幅漫畫,經(jīng)過同學(xué)們的一番熱議,達(dá)成以下四個(gè)觀點(diǎn):

A.放下自我,彼此尊重; B.放下利益,彼此平衡;

C.放下性格,彼此成就; D.合理競(jìng)爭(zhēng),合作雙贏.

要求每人選取其中一個(gè)觀點(diǎn)寫出自己的感悟.根據(jù)同學(xué)們的選擇情況,小明繪制了下面兩幅不完整的圖表,請(qǐng)根據(jù)圖表中提供的信息,解答下列問題:

 觀點(diǎn)

頻數(shù) 

頻率 

 A

 a

 0.2

 B

 12

 0.24

 C

 8

 b

 D

 20

 0.4

(1)參加本次討論的學(xué)生共有   人;表中a   ,b   

(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,求D所在扇形的圓心角的度數(shù);

(3)現(xiàn)準(zhǔn)備從AB,CD四個(gè)觀點(diǎn)中任選兩個(gè)作為演講主題,請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求選中觀點(diǎn)D(合理競(jìng)爭(zhēng),合作雙贏)的概率.

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【題目】矩形ABCD的邊AB=6,BC=12,點(diǎn)P為矩形ABCD邊上一點(diǎn),連接AP,若線段AP、BD交點(diǎn)為點(diǎn)H,PAB為等腰三角形,則AH的長(zhǎng)為____.

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【題目】如圖,∠MAN=90°,點(diǎn)C在邊AM上,AC=4,點(diǎn)B為邊AN上一動(dòng)點(diǎn),連接BC,A′BCABC關(guān)于BC所在直線對(duì)稱,點(diǎn)D,E分別為AC,BC的中點(diǎn),連接DE并延長(zhǎng)交A′B所在直線于點(diǎn)F,連接A′E.當(dāng)A′EF為直角三角形時(shí),AB的長(zhǎng)為_____

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【題目】如圖,拋物線y=ax2+6x+cx軸于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C.直線y=x﹣5經(jīng)過點(diǎn)B,C.

(1)求拋物線的解析式;

(2)過點(diǎn)A的直線交直線BC于點(diǎn)M.

①當(dāng)AMBC時(shí),過拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P(不與點(diǎn)B,C重合),作直線AM的平行線交直線BC于點(diǎn)Q,若以點(diǎn)A,M,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo);

②連接AC,當(dāng)直線AM與直線BC的夾角等于∠ACB2倍時(shí),請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).

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【題目】如圖,在RtABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止.作DEAC交邊ABBC于點(diǎn)E,以DE為邊向右作正方形DEFG.設(shè)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).

(1)求AC的長(zhǎng).

(2)請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示線段DE的長(zhǎng).

(3)當(dāng)點(diǎn)F在邊BC上時(shí),求t的值.

(4)設(shè)正方形DEFGABC重疊部分圖形的面積為S(cm2),當(dāng)重疊部分圖形為四邊形時(shí),求St之間的函數(shù)關(guān)系式.

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【題目】在金融危機(jī)的影響下,國(guó)家采取擴(kuò)大內(nèi)需的政策,基建投資成為拉動(dòng)內(nèi)需最強(qiáng)有力的引擎.現(xiàn)金強(qiáng)公司中標(biāo)一項(xiàng)工程,在甲、乙兩地施工,其中甲地需推土機(jī)30臺(tái),乙地需推土機(jī)26臺(tái),公司在A、B兩地分別庫(kù)存推土機(jī)32臺(tái)和24臺(tái),現(xiàn)從A地運(yùn)一臺(tái)到甲、乙兩地的費(fèi)用分別是400元和300元,從B地運(yùn)一臺(tái)到甲、乙兩地的費(fèi)用分別為200元和500元.若設(shè)從A地運(yùn)往甲地臺(tái)推土機(jī),運(yùn)甲、乙兩地所需的這批推土機(jī)的總費(fèi)用為元.

(1)求的函數(shù)關(guān)系式;

(2)公司應(yīng)設(shè)計(jì)怎樣的方案,能使運(yùn)送這批推土機(jī)的總費(fèi)用最少?

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