Question

    已知：△ABD和△CBD關(guān)于直線BD對(duì)稱(點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)C)，點(diǎn)E、F分別是線段BC

  和線段BD上的點(diǎn)，且點(diǎn)F在線段EC的垂直平分線上，連接AF、AE，AE交BD于點(diǎn)G．

    (1)如圖l，求證：∠EAF=∠ABD；

    (2)如圖2，當(dāng)AB=AD時(shí)，M是線段AG上一點(diǎn)，連接BM、ED、MF，MF的延長線交ED于點(diǎn)N，∠MBF= ∠BAF，AF=AD，試探究線段FM和FN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：本題考查了三角形全等的判斷和性質(zhì)，相似三角形的判斷和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，軸對(duì)稱性質(zhì)，三角形四邊形內(nèi)角和，線段的垂直平分線性質(zhì)

要求較高的視圖能力和證明推理能力。

分析：（1）連接FE、FC，先證△ABF、△CBF全等，得∠FEC=∠BAF，通過四邊形ABEF與三角形AEF內(nèi)角和導(dǎo)出；（2）先由△AFG∽△BFA，推出∠AGF=∠BAF，再得BG=MG，通過△AGF∽△DGA，導(dǎo)出GD=a，F(xiàn)D=a，過點(diǎn)F作FQ∥ED交AE于Q，通過BE∥AD德線段成比例設(shè)EG=2kBG=MG=3k，GQ=EG=，MQ=3k+=，從而FM=FN本題綜合考查了相似三角形線段之間的比例關(guān)系、平行線分線段成比例定理等重要知識(shí)點(diǎn)，難度較大．在解題過程中，涉及到數(shù)目較多的線段比，注意不要出錯(cuò)

解答：(1)證明：如圖1  連接FE、FC  ∵點(diǎn)F在線段EC的垂直平分線上

    ∴．FE=FC    ∴∠l=∠2   ∵△ABD和△CBD關(guān)于直線BD對(duì)稱．∴AB=CB ∠4=∠3    BF=BF

    ∴△ABF≌ACBF  ∴∠BAF=∠2    FA=FC  ∴FE=FA    ∠1=∠BAF．  ∴∠5=∠6  ∵ ∠l+∠BEF=180⁰∠BAF+∠BEF=180⁰

   ∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=360⁰    ∴．∠AFE+∠ABE=180⁰    又∵∠AFE+∠5+∠6=180⁰    ∴∠5+∠6=∠3+∠4    ∴∠5=∠4

即∠EAF=∠ABD

(2)FM=FN     證明：如圖2  由(1)可知∠EAF=∠ABD

  又∵∠AFB=∠GFA  ∴△AFG∽△BFA

  ∴∠AGF=∠BAF

     又∵∠MBF=∠BAF．∠MBF=∠AGF

 

  又∵∠AGF=∠MBG+∠BMG

 ∴∠MBG=∠BMG   ∴BG=MG

∵AB=AD  ∴∠ADB=∠ABD=∠EAF

又∵∠FGA=∠AGD．∴△AGF∽△DGA．∵AF=AD

設(shè)GF=2a AG=3a．∴GD=a

∴FD==a∵∠CBD=∠ABD ∠ABD=∠ADB

∴．∠CBD=∠ADB∴BE／／AD．∴

設(shè)EG=2k∴BG=MG=3k  過點(diǎn)F作FQ∥ED交AE于Q

∴

∴GQ=EG=． MQ=3k+=

∵FQ∥ED∴FM=FN