Question

4．探究問題：
（1）方法感悟：
如圖1，在正方形ABCD中，點E、F分別為DC、BC邊上的點，且滿足∠EAF=45°，連接EF，求證：DE+BF=EF．
感悟解題方法，并完成下列填空：
將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，此時AD與AB重合，由旋轉(zhuǎn)可得：
AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，點G、B、F在同一條直線上．
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠EAF．
又　AG=AE，AF=AF，∴△GAF≌△EAF．
∴GF=EF，故DE+BF=EF；
（2）方法遷移：
如圖2，將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，點E、F分別為DC、BC邊上的點，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAB．試猜想DE、BF、EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）問題拓展：
如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，E、F分別為DC、BC上的點，滿足∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAB，試猜想當(dāng)∠B與∠D滿足什么關(guān)系時，可使得DE+BF=EF．請直接寫出你的猜想（不必說明理由）．

Answer 1

分析 （1）利用角之間的等量代換得出∠GAF=∠FAE，再利用SAS得出△GAF≌△EAF，得出答案；
（2）作出∠4=∠1，利用已知得出∠GAF=∠FAE，再證明△AGF≌△AEF，即可得出答案；
（3）根據(jù)角之間的關(guān)系，只要滿足∠B+∠D=180°時，就可以得出三角形全等，即可得出答案．

解答 解：（1）將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，此時AD與AB重合，由旋轉(zhuǎn)可得：
AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，點G、B、F在同一條直線上．
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠EAF，
又∵AG=AE，AF=AF，
∴△GAF≌△EAF（SAS），
∴GF=EF，
故DE+BF=EF；
故答案為：EAF，△EAF，GF；

（2）EF=DE+BF，理由如下：
如圖②，延長CF，作∠4=∠1，

∵將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAB，
∴∠1+∠2=∠3+∠5，
∠2+∠3=∠1+∠5，
∵∠4=∠1，
∴∠2+∠3=∠4+∠5，
∴∠GAF=∠FAE，
在△AGB和△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠4=∠1}\\{AB=AD}\\{∠ABG=∠ADE}\end{array}\right.$，
∴△AGB≌△AED（ASA），
∴AG=AE，BG=DE，
在△AGF和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AE}\\{∠GAF=∠EAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AGF≌△AEF（SAS），
∴GF=EF，
∴DE+BF=EF；

（3）當(dāng)∠B與∠D滿足∠B+∠D=180°時，可使得DE+BF=EF．
如圖③，延長CF，作∠2=∠1，

∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABG=180°，
∴∠D=∠ABG，
在△AGB和△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠1}\\{AB=AD}\\{∠D=∠ABG}\end{array}\right.$，
∴△AGB≌△AED（ASA），
∴BG=DE，AG=AE，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAB，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AGF和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AE}\\{∠GAF=∠EAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AGF≌△AEF（SAS），
∴GF=EF，
DE+BF=EF．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)等知識，根據(jù)題意作出與已知相等的角，利用三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．