Question

14．在矩形ABCD中，點(diǎn)P在AD上，AB=$\sqrt{3}$，AP=1．將直角尺的頂點(diǎn)放在P處，直角尺的兩邊分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF（如圖1）．

（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時，點(diǎn)F恰好與點(diǎn)C重合（如圖2），則PC的長為2$\sqrt{3}$；
（2）將直角尺從圖2中的位置開始，繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時停止．在這個過程中，從開始到停止，線段EF的中點(diǎn)所經(jīng)過的路徑（線段）長為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）如圖2，先利用勾股定理計算出PB=2，再證明△APB∽△DCP，然后利用相似比可計算出PC；
（2）設(shè)線段EF的中點(diǎn)為O，連接OP，OB，如圖1，利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得OP=OB=$\frac{1}{2}$EF，則利用線段垂直平分線定理的逆定理可得O點(diǎn)在線段BP的垂直平分線上，再確定旋轉(zhuǎn)開始和停止時EF的中點(diǎn)位置，然后根據(jù)三角形中位線性質(zhì)確定線段EF的中點(diǎn)所經(jīng)過的路徑（線段）長．

解答 解：（1）如圖2，
在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∵AP=1，AB=$\sqrt{3}$，
∴PB=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∵∠ABP+∠APB=90°，∠BPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∴∠ABP=∠DPC，
∴△APB∽△DCP，
∴AP：CD=PB：CP，即1：$\sqrt{3}$=2：PC，
∴PC=2$\sqrt{3}$，
（2）設(shè)線段EF的中點(diǎn)為O，連接OP，OB，如圖1，
在Rt△EPF中，OP=$\frac{1}{2}$EF，
在Rt△EBF中，OB=$\frac{1}{2}$EF，
∴OP=OB，
∴O點(diǎn)在線段BP的垂直平分線上，
如圖2，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時，點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時，EF的中點(diǎn)為BC的中點(diǎn)O，
當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)，A重合時，EF的中點(diǎn)為PB的中點(diǎn)O，
∴OO′為△PBC的中位線，
∴OO′=$\frac{1}{2}$PC=$\sqrt{3}$，
∴線段EF的中點(diǎn)經(jīng)過的路線長為$\sqrt{3}$．
故答案為2$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．解決（2）小題的關(guān)鍵是判斷O點(diǎn)在線段BP的垂直平分線上．