Question

【題目】如圖，拋物線的頂點(diǎn)為，與軸交于點(diǎn)，與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）。

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接，，，試證明為直角三角形；

（3）若點(diǎn)在拋物線上，軸于點(diǎn)，以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，試求出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)。

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析；（3）所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或或

【解析】

（1）根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得到關(guān)于b，c的方程組，然后求解方程組即可；

（2）先求得A點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)的距離公式求得△ACD的邊長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可得證；

（3）設(shè)，分兩種情況討論：①若，則；②若，則；分別代入求得符合題意的x的值即可得解.

解：（1）由題意得，解得：，

∴拋物線的解析式為：；

（2）令，解得或，

由題意點(diǎn)，

∴，，，

∴，

∴為直角三角形；

（3）設(shè)，分兩種情況討論：

①若，如圖1，

則，即，

整理，得，

解得，（與點(diǎn)重合，舍去），

當(dāng)時(shí)，，

∴此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；

②若，如圖2，

則，即，

整理，得，解得，，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

∴此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；

綜上所述，所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或或.