Question

在平面直角坐標系xoy中，對于任意兩點P₁（x₁,y₁）與P₂（x₂,y₂）的“非常距離”，

給出如下定義：

      若∣x₁－x₂∣≥∣y₁－y₂∣，則點P₁與點P₂的“非常距離”為∣x₁－x₂∣；

      若∣x₁－x₂∣＜∣y₁－y₂∣，則點P₁與點P₂的“非常距離”為∣y₁－y₂∣.

      例如：點P₁（1,2），點P₂（3,5），因為∣1－3∣＜∣2－5∣，所以點P₁與點P₂的“非常距離”為

∣2－5∣=3，也就是圖1中線段P₁Q與線段P₂Q長度的較大值（點Q為垂直于y軸的直線P₁Q與垂直于x

軸的直線P₂Q的交點）。

    （1）已知點，B為y軸上的一個動點，

         ①若點A與點B的“非常距離”為2，寫出一個滿足條件的點B的坐標；

         ②直接寫出點A與點B的“非常距離”的最小值；

    （2）已知C是直線上的一個動點，

       ①如圖2，點D的坐標是（0，1），求點C與點D的“非常距離”的最小值及相應的點C的坐標；

       ②如圖3，E是以原點O為圓心，1為半徑的圓上的一個動點，求點C與點E的“非常距離”的最

小值及相應的點E和點C的坐標。

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）①（0，－2）或（0，2）。

②。

（2）①設C坐標為，如圖，過點C作CP⊥x軸于點P，作CQ⊥y軸于點Q。

 

 

     由“非常距離”的定義知，當OP=DQ時，點C與點D的“非常距離”最小，

∴。

兩邊平方并整理，得，解得，或（大于，舍去）。

∴點C與點D的“非常距離”的最小值距離為，此時。

②設直線與x軸和y軸交于點A，B，過點O作直線的垂線交直線于點C，交圓于點E，過點C作CP⊥x軸于點P，作CQ⊥y軸于點Q，過點E作EM⊥x軸于點M，作EN⊥y軸于點N。

易得，OA=4，OB=3，AB=5。

 

 

由△OAB∽△MEM，OE=1，得OM=，ON=�！�。

設C坐標為

由“非常距離”的定義知，當MP=NQ時，點C與點E的“非常距離”最小，

∴。

兩邊平方并整理，得，

解得，或（大于，舍去）。

∴點C與點E的“非常距離”的最小值距離為1，此時，。

【解析】新定義，直線上點的坐標與方程的關系，直線和圓的性質(zhì)，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的和性質(zhì)。

（1）根據(jù)“非常距離”的定義可直接求出。

（2）①解題關鍵是，過C點向x、y軸作垂線，當CP和CQ長度相等的時候“非常距離”最短，理由是，如果向下（如左圖）或向上（如右圖）移動C點到達C’點，其與點D的“非常距離”都會增大。故而C、D為正方形相對的兩個頂點時有最小的非常距離。

 

 

②同①，同時理解當OC垂直于直線時，點C與點E的“非常距離”最小。