Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)E在BC上，以CE為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)F，AO∥EF
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）如圖2，連結(jié)CF交AO于點(diǎn)G，交AE于點(diǎn)P，若BE=2，BF=4，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OF，如圖，

∵OA∥EF，

∴∠1=∠3，∠2=∠4，

∵OE=OF，

∴∠3=∠4，

∴∠1=∠2，

在△AOC和△AOF中

，

∴△AOC≌△AOF，

∴∠ACO=∠AFO=90°，

∴OF⊥AB，

∴AB是⊙O的切線；

（2）解：在Rt△OFB中，設(shè)OE=OF=r，

∵OF2+BF2=OB2，

∴r2+42=（r+2）2，解得r=3，

∴OB=5，

∴OA∥EF，

∴△BEF∽△BOA，

∴ = = ，

∵EF∥OA，

∴△PEF∽△PAO，

∴ = = ，

∴ = ．

【解析】（1）連接OF，如圖，利用平行線的性質(zhì)得到∠1=∠3，∠2=∠4，加上∠3=∠4，則∠1=∠2，再證明△AOC≌△AOF得到∠ACO=∠AFO=90°，然后根據(jù)切線的判定定理可得到結(jié)論；（2）在Rt△OFB中，設(shè)OE=OF=r，利用勾股定理得到r2+42=（r+2）2 ， 解得r=3，則OB=5，再證明△BEF∽△BOA得到 = = ，然后證明△PEF∽△PAO，利用相似比可得到 的值．
【考點(diǎn)精析】利用相似三角形的判定與性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．