Question

【題目】（14分） 已知：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點D是AB的中點，點E是AB邊上一點．

（1）直線BF垂直于CE于點F，交CD于點G（如圖1），求證：AE＝CG；

（2）直線AH垂直于CE，垂足為H，交CD的延長線于點M（如圖2），找出圖中與BE相等的線段，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BE＝CM．

【解析】試題分析：（1）通過證△AEC≌△CGB得到AE＝CG；（2）通過證△BCE≌△CAM，便可得BE=CM.

解：（1）∵點D是AB的中點，AC＝BC，∠ACB＝90°，

∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∠CAD＝∠CBD＝45°，

∴∠CAE＝∠BCG．

∵BF⊥CE，∴∠CBG＋∠BCF＝90°，

又∵∠ACE＋∠BCF＝90°，

∴∠ACE＝∠CBG，

在△AEC與△CGB中，∠CAE＝∠BCG，CA=BC，∠ACE＝∠CBG，

∴△AEC≌△CGB，∴AE＝CG．

（2）BE＝CM．理由：∵CH⊥AM，AC⊥BC，∴∠CAM＋∠ACH＝90°，∠BCE＋∠ACH＝90°，∴∠CAM＝∠BCE．

在△BCE與△CAM中，∠CAM＝∠BCE，BC=CA，∠CBE＝∠ACM＝45°，∴△BCE≌△CAM，

∴BE＝CM．