Question

已知：二次函數(shù)y=-x²+x+c與X軸交于點(diǎn)M（x₁，0）N（x₂，0）兩點(diǎn)，與Y軸交于點(diǎn)H．
（1）若∠HMO=45°，∠MHN=105°時(shí)，求：函數(shù)解析式；
（2）若|x₁|²+|x₂|²=1，當(dāng)點(diǎn)Q（b，c）在直線上時(shí)，求二次函數(shù)y=-x²+x+c的解析式．

Answer 1

解：（1）依題意得OH=c，∠OHN=60°，解直角三角形得，OM=OH=c，ON=c，
即M（-c，0），N（c，0），
∴-c+c=，-c•c=-c，解得b=3-，c=，
故函數(shù)解析式y(tǒng)=-x²+（1-）x+；

（2）由|x₁|²+|x₂|²=1得，（x₁+x₂）²-2x₁x₂=1，
∴+2c=1…①，
又∵點(diǎn)Q（b，c）在直線上，
∴c=+…②，
由①②得或（不合題意舍去），
∴二次函數(shù)y=-x²+x+c的解析式y(tǒng)=-x²+x+．
分析：（1）由已知可得兩個(gè)特殊的直角三角形，其公共直角邊OH=c，解直角三角形得OM，ON的長(zhǎng)度，用長(zhǎng)度表示點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)，用兩根關(guān)系求待定系數(shù)，確定二次函數(shù)關(guān)系式；
（2）由（1）可知x₁=-c，x₂=c，代入已知條件，用待定系數(shù)法解題．
點(diǎn)評(píng)：本題涉及解直角三角形，兩根關(guān)系，待定系數(shù)法等知識(shí)的綜合運(yùn)用，要形數(shù)結(jié)合，會(huì)把線段長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)．