Question

18．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線，交AB于點(diǎn)E，交CA的延長線于點(diǎn)F．
（1）求證：EF⊥AB；
（2）若∠C=30°，EF=$\sqrt{6}$，求EB的長．

Answer 1

分析 （1）連接AD、OD，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角求出∠ADC=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明D是BC的中點(diǎn)，得到OD是△ABC的中位線，根據(jù)切線的性質(zhì)證明結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠AOD=60°，∠F=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到OA=OD=$\frac{1}{2}$OF，求得AE=$\sqrt{2}$根據(jù)平行線等分線段定理得到OD=2AE=2$\sqrt{2}$，AB=2OD=4$\sqrt{2}$，由線段的和差即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接AD、OD，
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ADC=90°，
又∵AB=AC，
∴CD=DB，又CO=AO，
∴OD∥AB，
∵FD是⊙O的切線，
∴OD⊥EF，
∴FE⊥AB；

（2）∵∠C=30°，
∴∠AOD=60°，
∴∠F=30°，
∴OA=OD=$\frac{1}{2}$OF，
∵∠AEF=90°EF=$\sqrt{6}$，
∴AE=$\sqrt{2}$，
∵OD∥AB，OA=OC=AF，
∴OD=2AE=2$\sqrt{2}$，AB=2OD=4$\sqrt{2}$，
∴EB=3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是切線的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理，掌握?qǐng)A的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑和等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵．