Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OCDE的三個頂點(diǎn)分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．點(diǎn)A在DE上，以A為頂點(diǎn)的拋物線過點(diǎn)C，且對稱軸x=1交x軸于點(diǎn)B．連接EC，AC．點(diǎn)P，Q為動點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．
（1）填空：點(diǎn)A坐標(biāo)為；拋物線的解析式為 ．
（2）在圖①中，若點(diǎn)P在線段OC上從點(diǎn)O向點(diǎn)C以1個單位/秒的速度運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在線段CE上從點(diǎn)C向點(diǎn)E以2個單位/秒的速度運(yùn)動，當(dāng)一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)隨之停止運(yùn)動．當(dāng)t為何值時，△PCQ為直角三角形？

（3）在圖②中，若點(diǎn)P在對稱軸上從點(diǎn)A開始向點(diǎn)B以1個單位/秒的速度運(yùn)動，過點(diǎn)P做PF⊥AB，交AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G，交拋物線于點(diǎn)Q，連接AQ，CQ．當(dāng)t為何值時，△ACQ的面積最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】
（1）（1，4）；y=﹣（x﹣1）2+4
（2）

解：依題意有：OC=3，OE=4，

∴CE= = =5，

當(dāng)∠QPC=90°時，

∵cos∠QCP= = ，

∴ = ，

解得t= ；

當(dāng)∠PQC=90°時，

∵cos∠QCP= = ，

∴ = ，

解得t= ．

∴當(dāng)t= 或t= 時，△PCQ為直角三角形；

（3）

解：∵A（1，4），C（3，0），

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，則 ，解得 ．

故直線AC的解析式為y=﹣2x+6．

∵P（1，4﹣t），將y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，得x=1+ ，

∴Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1+ ，

將x=1+ 代入y=﹣（x﹣1）2+4中，得y=4﹣ ．

∴Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4﹣ ，

∴QF=（4﹣ ）﹣（4﹣t）=t﹣ ，

∴S△ACQ=S△AFQ+S△CFQ

= FQAG+ FQDG

= FQ（AG+DG）

= FQAD

= ×2（t﹣ ）

=﹣ +t

=﹣ （t2+4﹣4t﹣4）

=﹣ （t﹣2）2+1，

∴當(dāng)t=2時，△ACQ的面積最大，最大值是1．

【解析】解：（1）∵拋物線的對稱軸為x=1，矩形OCDE的三個頂點(diǎn)分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4），點(diǎn)A在DE上，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，4），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣1）2+4，
把C（3，0）代入拋物線的解析式，可得a（3﹣1）2+4=0，
解得a=﹣1．
故拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；
（1）根據(jù)拋物線的對稱軸與矩形的性質(zhì)可得點(diǎn)A坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法可得拋物線的解析式；（2）先根據(jù)勾股定理可得CE，再分兩種情況：當(dāng)∠QPC=90°時；當(dāng)∠PQC=90°時；討論可得△PCQ為直角三角形時t的值；（3）根據(jù)待定系數(shù)法可得直線AC的解析式，根據(jù)S△ACQ=S△AFQ+S△CPQ可得S△ACQ=﹣ （t﹣2）2+1，依此即可求解．