【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AD與BC是⊙O的直徑,延長(zhǎng)線段AC至點(diǎn)G,使AG=AD,連接DG交⊙O于點(diǎn)E,EF∥AB交AG于點(diǎn)F.
(1)求證:EF與⊙O相切.
(2)若EF=2,AC=4,求扇形OAC的面積.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)S扇形OAC=.
【解析】
(1)連接OE,由條件知∠D=∠OED,證出∠OED=∠G,可得OE∥AG,證明∠OEF=180°∠AFE=90°,即OE⊥EF,則EF與⊙O相切.
(2)連接OE,過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AC于點(diǎn)H,求出CH,OH的長(zhǎng),再求出OC的長(zhǎng),得出△AOC是等邊三角形,則∠AOC=60°,可求出扇形OAC的面積.
(1)證明:如圖1,連接OE,
∵OD=OE,
∴∠D=∠OED,
∵AD=AG,
∴∠D=∠G,
∴∠OED=∠G,
∴OE∥AG,
∵BC是⊙O的直徑,
∴∠BAC=90°,
∵EF∥AB,
∴∠BAF+∠AFE=180°,
∴∠AFE=90°,
∵OE∥AG,
∴∠OEF=180°﹣∠AFE=90°,
∴OE⊥EF,
∴EF與⊙O相切;
(2)解:如圖2,連接OE,過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AC于點(diǎn)H,
∵AC=4,
∴CH=,
∵∠OHF=∠HFE=∠OEF=90°,
∴四邊形OEFH是矩形,
∴,
在Rt△OHC中,
OC===4,
∵OA=AC=OC=4,
∴△AOC是等邊三角形,
∴∠AOC=60°,
∴S扇形OAC==.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,數(shù)學(xué)興趣小組的小穎想測(cè)量教學(xué)樓前的一棵樹(shù)的樹(shù)高,下午課外活動(dòng)時(shí)她測(cè)得一根長(zhǎng)為1m的竹竿的影長(zhǎng)是0.8m,但當(dāng)她馬上測(cè)量樹(shù)高時(shí),發(fā)現(xiàn)樹(shù)的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教學(xué)樓的墻壁上(如圖),他先測(cè)得留在墻壁上的影高為1.2m,又測(cè)得地面的影長(zhǎng)為2.6m,請(qǐng)你幫她算一下,樹(shù)高是( )
A、3.25m B、4.25m C、4.45m D、4.75m
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.分別以AB、AC、BC為邊在AB的同側(cè)作正方形ABEF、ACPQ、BCMN,四塊陰影部分的面積分別為S1、S2、S3、S4.則S1﹣S2+S3+S4等于( )
A. 4B. 6C. 8D. 12
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下面是小西“過(guò)直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過(guò)程.
已知:直線l及直線l外一點(diǎn)P.
求作:直線PQ,使得PQ⊥l.
做法:如圖,
①在直線l的異側(cè)取一點(diǎn)K,以點(diǎn)P為圓心,PK長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,交直線l于點(diǎn)A,B;
②分別以點(diǎn)A,B為圓心,大于AB的同樣長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧交于點(diǎn)Q(與P點(diǎn)不重合);
③作直線PQ,則直線PQ就是所求作的直線.
根據(jù)小西設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程,
(1)使用直尺和圓規(guī),補(bǔ)全圖形;(保留作圖痕跡)
(2)完成下面的證明.
證明:∵PA= ,QA= ,
∴PQ⊥l( )(填推理的依據(jù)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(材料閱讀)
我們?cè)鉀Q過(guò)課本中的這樣一道題目:
如圖1,四邊形ABCD是正方形,E為BC邊上一點(diǎn),延長(zhǎng)BA至F,使AF=CE,連接DE,DF.……
提煉1:△ECD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△FAD;
提煉2:△ECD≌△FAD;
提煉3:旋轉(zhuǎn)、平移、軸對(duì)稱(chēng)是圖形全等變換的三種方式.
(問(wèn)題解決)
(1)如圖2,四邊形ABCD是正方形,E為BC邊上一點(diǎn),連接DE,將△CDE沿DE折疊,點(diǎn)C落在G處,EG交AB于點(diǎn)F,連接DF.
可得:∠EDF= °;AF,FE,EC三者間的數(shù)量關(guān)系是 .
(2)如圖3,四邊形ABCD的面積為8,AB=AD,∠DAB=∠BCD=90°,連接AC.求AC的長(zhǎng)度.
(3)如圖4,在△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,點(diǎn)D,E在邊AB上,∠DCE=45°.寫(xiě)出AD,DE,EB間的數(shù)量關(guān)系,并證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖像分別交于點(diǎn)A、B,若∠AOB=45°,則△AOB的面積是________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線:是由拋物線:平移得到的,并且的頂點(diǎn)為(1,-4)
(1)求的值;
(2)如圖1,拋物線C1與x軸正半軸交于點(diǎn)A,直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,交拋物線C1于另一點(diǎn)B.請(qǐng)你在線段AB上取點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作直線PQ∥y軸交拋物線C1于點(diǎn)Q,連接AQ.
①若AP=AQ,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
②若PA=PQ,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo).
(3)如圖2,△MNE的頂點(diǎn)M、N在拋物線C2上,點(diǎn)M在點(diǎn)N右邊,兩條直線ME、NE與拋物線C2均有唯一公共點(diǎn),ME、NE均與y軸不平行.若△MNE的面積為16,設(shè)M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m、n,求m與n的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,坐標(biāo)平面內(nèi),將△ABC放在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為l的網(wǎng)格中,點(diǎn)A(l,6),B(2,2),C(6,6),均為格點(diǎn).
(1)①在B的下方找一格點(diǎn)D,使得∠ABC=∠CBD,畫(huà)出圖形,直接寫(xiě)出D的坐標(biāo) .
②P、Q為兩格點(diǎn),連PQ交BC于M,使得CM:BM=1:2,畫(huà)出圖形,并標(biāo)出M的位置.
(2)E為一格點(diǎn),作直線CE交y軸于N,若CE⊥AB,請(qǐng)用連線的方式找到N點(diǎn),寫(xiě)出E的坐標(biāo) ,并畫(huà)出圖形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某超市在端午節(jié)期間開(kāi)展優(yōu)惠活動(dòng),凡購(gòu)物者可以通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)的方式享受折扣優(yōu)惠,本次活動(dòng)共有兩種方式,方式一:轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)甲,指針指向A區(qū)域時(shí),所購(gòu)買(mǎi)物品享受9折優(yōu)惠、指針指向其它區(qū)域無(wú)優(yōu)惠;方式二:同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)甲和轉(zhuǎn)盤(pán)乙,若兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)的指針指向每個(gè)區(qū)域的字母相同,所購(gòu)買(mǎi)物品享受8折優(yōu)惠,其它情況無(wú)優(yōu)惠.在每個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)中,指針指向每個(gè)區(qū)城的可能性相同(若指針指向分界線,則重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán))
(1)若顧客選擇方式一,則享受9折優(yōu)惠的概率為多少;
(2)若顧客選擇方式二,請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法列出所有可能,并求顧客享受8折優(yōu)惠的概率.
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