Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A（10，0），以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓C，點B是該半圓周上一動點，連接OB、AB，并延長AB至點D，使DB=AB，過點D作軸垂線，分別交軸、直線OB于點E、F，點E為垂足，連接CF．

【小題1】當∠AOB=30°時，求弧AB的長度
【小題2】當DE=8時，求線段EF的長；
【小題3】在點B運動過程中，是否存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，若存在，請求出此時點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【小題1】連接BC，

∵A（10，0），∴OA=10，CA=5。
∵∠AOB=30°，∴∠ACB=2∠AOB=60°。
∴弧AB的長=。
【小題2】連接OD，

∵OA是⊙C直徑，∴∠OBA=90°。
又∵AB=BD，∴OB是AD的垂直平分線�！郞D=OA=10。
在Rt△ODE中，OE=。
∴AE=AO﹣OE=10﹣6=4，
由∠AOB=∠ADE=90°﹣∠OAB，∠OEF=∠DEA，得△OEF∽△DEA。
∴，即，∴EF=3。
【小題3】設(shè)OE=，
①當交點E在O，C之間時，由以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB。
當∠ECF=∠BOA時，此時△OCF為等腰三角形，點E為OC中點，即OE=，∴E₁（，0）。
當∠ECF=∠OAB時，有CE=5﹣，AE=10﹣，
∴CF∥AB，有CF=AB。
∵△ECF∽△EAD，∴，即，解得，。∴E₂（，0）。
②當交點E在點C的右側(cè)時，
∵∠ECF＞∠BOA，
∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO。
連接BE，

∵BE為Rt△ADE斜邊上的中線，
∴BE=AB=BD，∴∠BEA=∠BAO�！唷螧EA=∠ECF。
∴CF∥BE�！�。
∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90⁰，∴△CEF∽△AED，∴，
而AD=2BE，∴。即，
解得
∵＜0，舍去，∴E₃（，0）。

∵＜0，舍去，
又∵點E在軸負半軸上，∴E₄（，0）。
綜上所述：存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，此時點E坐標為：
E₁（，0）、E₂（，0）、E₃（，0）、E₄（，0）。解析:
（1）連接BC，由已知得∠ACB=2∠AOB=60°，AC=AO=5，根據(jù)弧長公式求解；
（2）連接OD，由垂直平分線的性質(zhì)得OD=OA=10，又DE=8，在Rt△ODE中，由勾股定理求OE，依題意證明△OEF∽△DEA，利用相似比求EF；
（3）存在．當以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似時，分為①當交點E在O，C之間時，由以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，②當交點E在點C的右側(cè)時，要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，③當交點E在點O的左側(cè)時，要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，三種情況，分別求E點坐標．