Question

【題目】數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下框中的題目．

小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：

（1）特殊情況探索結(jié)論

當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，確定線段AE與的DB大小關(guān)系．請(qǐng)你直接寫(xiě)出結(jié)論：AE__________DB（填“＞”，“＜”或“=”）．

（2）特例啟發(fā)，解答題目

解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE__________DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：

如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，（請(qǐng)你完成以下解答過(guò)程）

（3）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題

在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED=EC．若△ABC的邊長(zhǎng)為1，AE=2，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）=，證明見(jiàn)解析；（3）3或1．

【解析】

試題分析：本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)和判定，利用全等得到BD=EF，再找EF和AE的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

（1）當(dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，過(guò)E作EF∥BC交AC于點(diǎn)F，則可證明△BDE≌△FEC，可得到AE=DB；

（2）類似（1）過(guò)E作EF∥BC交AC于點(diǎn)F，可利用AAS證明△BDE≌△FEC，可得BD=EF，再證明△AEF是等邊三角形，可得到AE=EF，可得AE=DB；

（3）分點(diǎn)E在AB上和在BA的延長(zhǎng)線上，類似（2）證得全等，再利用平行得到．

試題解析：

（1）答案為：=．

（2）答案為：=．

在等邊△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，

∵EF∥BC，

∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，

∴∠AEF=∠AFE=∠BAC=60°，

∴AE=AF=EF，

∴AB﹣AE=AC﹣AF，

即BE=CF，

∵∠ABC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，

∵ED=EC，

∴∠EDB=∠ECB，

∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，

∴∠BED=∠FCE，

在△DBE和△EFC中，

，

∴△DBE≌△EFC（SAS），

∴DB=EF，

∴AE=BD．

（3）解：分為四種情況：

如圖1：

∵AB=AC=1，AE=2，

∴B是AE的中點(diǎn)，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC=BC=1，△ACE是直角三角形（根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半），

∴∠ACE=90°，∠AEC=30°，

∴∠D=∠ECB=∠BEC=30°，∠DBE=∠ABC=60°，

∴∠DEB=180°﹣30°﹣60°=90°，

即△DEB是直角三角形．

∴BD=2BE=2（30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半），

即CD=1+2=3．

如圖2，

過(guò)A作AN⊥BC于N，過(guò)E作EM⊥CD于M，

∵等邊三角形ABC，EC=ED，

∴BN=CN=BC=，CM=MD=CD，AN∥EM，

∴△BAN∽△BEM，

∴=，

∵△ABC邊長(zhǎng)是1，AE=2，

∴=，

∴MN=1，

∴CM=MN﹣CN=1﹣=，

∴CD=2CM=1；

如圖3，∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC=120°），而∠ECD不能大于120°，否則△EDC不符合三角形內(nèi)角和定理，

∴此時(shí)不存在EC=ED；

如圖4，

∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，

又∵∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠ECD＞∠EDC，

即此時(shí)ED≠EC，

∴此時(shí)情況不存在，

答：CD的長(zhǎng)是3或1．