Question

10．如圖，已知拋物線經(jīng)過點A（-2，0），B（-3，3）及原點O，頂點為C．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）連接BC交x軸于點F．試在y軸負(fù)半軸上找一點P，使得△POC∽△BOF．

Answer 1

分析 （1）拋物線的解析式為y=ax²+bx+c （a≠0），把A、B、C的坐標(biāo)代入求出即可；
（2）求出∠BOF=∠POC，求出OB、OF、OC的長，根據(jù)相似得出比例式，代入求出即可．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c （a≠0），
將點A（-2，0）、B（-3，3）、0（0，0），
代入可得：$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{9a-3b+c=3}\\{c=0}\end{array}\right.$
解得：a=1，b=2，c=0，
所以拋物線的解析式為y=x²+2x；
              
（2）如圖，∵y=x²+2x=（x+1）²-1，
∴頂點C的坐標(biāo)為（-1，-1）．
∵B（-3，3），
∴tan∠BOF=$\frac{3}{3}$=1，tan∠POC=$\frac{1}{1}$=1，
∴∠BOF=45°，∠POC=45°．
∴∠POC=∠BOF，
∴∠POC=45°=∠BOF，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵直線經(jīng)過點B（-3，3）、C（-1，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=3}\\{-k+b=-1}\end{array}\right.$
解得：k=-2，b=-3，
∴直線BC解析式為y=-2x-3，
令y=0，得x=-$\frac{3}{2}$，
因此，點F（-$\frac{3}{2}$，0），
∴OF=$\frac{3}{2}$，OB=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
OC=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵∠POC=∠BOF，
∴當(dāng)$\frac{OP}{OB}$=$\frac{OC}{OF}$時，△POC∽△BOF，
代入求出OP=4，
即當(dāng)P點的坐標(biāo)為（0，-4）時，△POC∽△BOF．

點評 本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能求出符合的所有情況是解此題的關(guān)鍵．