Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，E是CD的延長線上一點(diǎn)，且∠AEC=

1

2

∠ADC．
（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形．
（2）若DB⊥CB，∠BCD=60°，CD=12，作AH⊥BD于H，求四邊形AEDH的周長．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）求出∠AEC=∠1，得出AE∥BD，再由AB∥EC證出四邊形ABDE是平行四邊形．
（2）在Rt△BDC中，求出BD，再在在等腰△ADB中求出DH，AH，在Rt△ABH中求出AB，進(jìn)而求出四邊形的四條邊求周長．

解答：解：（1）∵DB平分∠ADC，
∴∠1=∠2=

1

2

∠ADC，
又∵∠AEC=

1

2

∠ADC，
∴∠AEC=∠1，
∴AE∥BD，
又∵AB∥EC，
∴四邊形AEDB是平行四邊形；?
（2）∵DB平分∠ADC，∠ADC=60°，AB∥EC，
∴∠1=∠2=∠3=30°，
∴AD=AB，
又∵DB⊥BC，
∴∠DBC=90°，
在Rt△BDC中，CD=12，
∴BC=6，DB=6

3

，
在等腰△ADB中，AH⊥BD，
∴DH=BH=

1

2

DB=3

3

，
在Rt△ABH中，∠AHB=90°，
∴AH=3，AB=6，
∵四邊形AEDB是平行四邊形，?
∴AE=BD=6

3

，ED=AB=6，
∴AE+ED+DH+AH=9

3

+9，
∴四邊形AEDH的周長為9

3

+9．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平行四邊形的判定及性質(zhì)，解題的過程中要靈活運(yùn)用直角三角形來求邊．