Question

某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，售價(jià)每件不低于50元且不高于80元．售價(jià)為每件60元時(shí)，每個(gè)月可賣(mài)出100件；如果每件商品的售價(jià)每上漲1元，則每個(gè)月少賣(mài)2件．如果每件商品的售價(jià)每降價(jià)1元，則每個(gè)月多賣(mài)1件．設(shè)每件商品的售價(jià)為x元（x為正整數(shù)），每個(gè)月的銷售利潤(rùn)為y元．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（2）每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)？最大的月利潤(rùn)是多少元？
（3）當(dāng)每件商品的售價(jià)高于60元時(shí)，定價(jià)為多少元使得每個(gè)月的利潤(rùn)恰為2250元？

Answer 1

解：（1）當(dāng)50≤x≤60時(shí)，y=（x-40）（100+60-x）=-x²+200x-6400；
當(dāng)60＜x≤80時(shí)，y=（x-40）（100-2x+120）=-2x²+300x-8800；
∴y=-x²+200x-6400（50≤x≤60且x為整數(shù)）
y=-2x²+300x-8800（60＜x≤80且x為整數(shù)）
（2）當(dāng)50≤x≤60時(shí)，y=-（x-100）²+3600；
∵a=-1＜0，且x的取值在對(duì)稱軸的左側(cè)，
∴y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x=60時(shí)，y有最大值2000；
當(dāng)60＜x≤80時(shí)，y=-2（x-75）²+2450；
∵a=-2＜0，
∴當(dāng)x=75時(shí)，y有最大值2450．
綜上所述，每件商品的售價(jià)定為75元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)，最大的月利潤(rùn)是2450元．
（3）當(dāng)60＜x≤80時(shí)，y=-2（x-75）²+2450．
當(dāng)y=2250元時(shí)，-2（x-75）²+2450=2250，
解得：x₁=65，x₂=85；
其中，x₂=85不符合題意，舍去．
∴當(dāng)每件商品的售價(jià)為65元時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)恰為2250元．
分析：（1）由于售價(jià)為60時(shí)，每個(gè)月賣(mài)100件，售價(jià)上漲或下調(diào)影響銷量，因此分為50≤x≤60和60＜x≤80兩部分求解；
（2）由（1）中求得的函數(shù)解析式來(lái)根據(jù)自變量x的范圍求利潤(rùn)的最大值；
（3）在60＜x≤80，令y=2250，求得定價(jià)x的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是函數(shù)方程和實(shí)際結(jié)合的問(wèn)題，同學(xué)們需掌握最值的求法．