【題目】如圖,在以線段AB為直徑的⊙O上取一點,連接AC、BC.將△ABC沿AB翻折后得到△ABD.
(1)試說明點D在⊙O上;
(2)在線段AD的延長線上取一點E,使AB2=AC·AE.求證:BE為⊙O的切線;
(3)在(2)的條件下,分別延長線段AE、CB相交于點F,若BC=2,AC=4,求線段EF的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)EF=
【解析】(1)由翻折知△ABC≌△ABD,得∠ADB=∠C=90°,據(jù)此即可得;
(2)由AB=AD知AB2=ADAE,即,據(jù)此可得△ABD∽△AEB,即可得出∠ABE=∠ADB=90°,從而得證;
(3)由知DE=1、BE=,證△FBE∽△FAB得,據(jù)此知FB=2FE,在Rt△ACF中根據(jù)AF2=AC2+CF2可得關(guān)于EF的一元二次方程,解之可得.
(1)∵AB為⊙O的直徑,
∴∠C=90°,
∵將△ABC沿AB翻折后得到△ABD,
∴△ABC≌△ABD,
∴∠ADB=∠C=90°,
∴點D在以AB為直徑的⊙O上;
(2)∵△ABC≌△ABD,
∴AC=AD,
∵AB2=ACAE,
∴AB2=ADAE,即,
∵∠BAD=∠EAB,
∴△ABD∽△AEB,
∴∠ABE=∠ADB=90°,
∵AB為⊙O的直徑,
∴BE是⊙O的切線;
(3)∵AD=AC=4、BD=BC=2,∠ADB=90°,
∴AB=,
∵,
∴,
解得:DE=1,
∴BE=,
∵四邊形ACBD內(nèi)接于⊙O,
∴∠FBD=∠FAC,即∠FBE+∠DBE=∠BAE+∠BAC,
又∵∠DBE+∠ABD=∠BAE+∠ABD=90°,
∴∠DBE=∠BAE,
∴∠FBE=∠BAC,
又∠BAC=∠BAD,
∴∠FBE=∠BAD,
∴△FBE∽△FAB,
∴,即,
∴FB=2FE,
在Rt△ACF中,∵AF2=AC2+CF2,
∴(5+EF)2=42+(2+2EF)2,
整理,得:3EF2-2EF-5=0,
解得:EF=-1(舍)或EF=,
∴EF=.
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【題目】小亮從家出發(fā)步行到公交站臺后,等公交車去學(xué)校,如圖, 折線表示這個過程中行程 s (千米)與所花時間 t (分)之間的關(guān)系,下 列說法錯誤的是( )
A.他家到公交車站臺需行 1 千米B.他等公交車的時間為 4 分鐘
C.公交車的速度是 500 米/分D.他步行與乘公交車行駛的平均速度300米/分鐘
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【題目】如圖,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D是AC的中點,EC⊥BD于E,交BA的延長線于F,若BF=12,則△BDC的面積是______
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【題目】已知:如圖,∠1=∠2,∠3=∠E,試說明:∠A=∠EBC,(請按圖填空,并補理由,)
證明:∵∠1=∠2(已知),
∴______∥______,________
∴∠E=∠______,________
又∵∠E=∠3(已知),
∴∠3=∠______(等量代換),
∴______∥______(內(nèi)錯角相等,兩直線平行),
∴∠A=∠EBC,________
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【題目】如圖所示,拋物線(m>0)的頂點為A,直線與軸的交點為點B.
(1)求出拋物線的對稱軸及頂點A的坐標(用含的代數(shù)式表示);
(2)證明點A在直線上,并求∠OAB的度數(shù);
(3)動點Q在拋物線對稱軸上,問:拋物線上是否存在點P,使以點P、Q、A為頂點的三角形與△OAB全等?若存在,求出的值,并寫出所有符合上述條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知直線AB∥CD,點P為直線l上一點,嘗試探究并解答:
(1)如圖1,若點P在兩平行線之間,∠1=23°,∠2=35°,則∠3= ;
(2)探究圖1中∠1,∠2與∠3之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)如圖2,若點P在CD的上方,探究∠1,∠2與∠3之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(4)如圖3,若∠PCD與∠PAB的平分線交于點P1,∠DCP1與∠BAP1的平分線交于點P2,∠DCP2與∠BAP2的平分線交于點P3,…,∠DCPn-1與∠BAPn-1的平分線交于點Pn,若∠PCD=α,∠PAB=β,直接寫出∠APnC的度數(shù)(用含α與β的代數(shù)式表示).
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【題目】如圖,點B,F,C,E在直線l上(F,C之間不能直接測量),點A,D在l異側(cè),測得AB=DE,AC=DF,BF=EC.
(1)求證:△ABC≌△DEF;
(2)指出圖中所有平行的線段,并說明理由.
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【題目】如圖,等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,點D、E分別在邊AB、CB上,CD=DE,∠CDB=∠DEC,過點C作CF⊥DE于點F,交AB于點G,
(1)求證:△ACD≌△BDE;
(2)求證:△CDG為等腰三角形.
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【題目】已知拋物線的頂點是,拋物線 的頂點是.
(1)判斷點是否在拋物線上,為什么?
(2)如果拋物線經(jīng)過點.
①求的值;
②直線與分別交于點(點在的左邊),直線與分別交于點(點在的左邊)是否存在,使得?若存在,求值;若不存在,說明理由.
③在②的條件下,當為何值時, 拋物線和中都隨的增大而增大?
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