Question

已知：如圖，圖1是△ABC，圖2是“8字形”（將線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB形成的圖形），圖3是一個五角星形狀，試解答下列問題：

（1）圖1的△ABC中，∠A+∠B+∠C=

180°

，并證明你寫出的結論；（要有推理證明過程）
（2）圖2的“8字形”中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關系：

∠A+∠D=∠C+∠B

；
（3）若在圖2的條件下，作∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N（如圖4）．請直接寫出∠P與∠D、∠B之間數(shù)量關系：

∠P=

1

2

（∠D+∠B）

；
（4）圖3中的點A向下移到線段BE上時，請直接寫出∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=

180°

．

Answer 1

分析：（1）先過A點作EF∥BC，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等得出∠B=∠EAB，∠C=∠CAF，再根據(jù)∠EAB+∠A+∠CAF=180°，即可證出∠A+∠B+∠C的度數(shù)；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出∠A+∠D=∠C+∠B；
（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠1=∠2，∠3=∠4，再根據(jù)對頂角的性質(zhì)，得出∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，即可得出∠D-∠P=∠P-∠B，最后進行整理即可．
（4）根據(jù)兩個內(nèi)角之和等于和它不相鄰的一個外角得出∠CAD+∠D=∠CFG，∠B+∠E=∠CGF，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得出答案．

解答：解：（1）過A點作EF∥BC，
∵EF∥BC，
∴∠B=∠EAB，∠C=∠CAF，
∵∠EAB+∠A+∠CAF=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°；

（2）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，
又∵∠AOD=∠BOC（對頂角相等），
∴∠A+∠D=∠C+∠B；

（3）∵AP、CP是∠DAB、∠BCD的平分線，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，
∴∠D-∠P=∠P-∠B，
∴∠P=

1

2

（∠D+∠B）；


（4）∵∠CAD+∠D=∠CFG，∠B+∠E=∠CGF，
又∵∠C+∠CFG+∠CGF=180°，
∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=180°；
故答案為：180°，∠A+∠D=∠C+∠B，∠P=

1

2

（∠D+∠B），180°．

點評：此題考查了三角形內(nèi)角和定理和三角形的外交的性質(zhì)，掌握三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義以及三角形的外交的性質(zhì)是本題的關鍵．