Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以O(shè)為原心，12為半徑作圓交x軸于E，F(xiàn)兩點，交y軸千C，D兩點，G為劣弧上一點．且．
（1）求G點的坐標(biāo)；
（2）求過G、E、F三點的拋物線的解析式；
（3）點A為x軸正半軸上一點，且在圓O的外部，過A作圓O的一條切線AB，切點為B，交y軸正半軸于點H，若以點A、O、H為頂點的三角形與三角形EGF相似，求AF的長．

Answer 1

解：（1）過點G作GG'⊥x軸，垂足為G'，
由有：∠GOE=60，GG'=6，OG'=6，
∴G（-6，6）；

（2）設(shè)過G、E、F三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
由己知有：E（-12，0），F(xiàn)（12，0），
將G、E、F三點的坐標(biāo)代入y=ax²+bx+c（a≠0）
有：，
解之得：．
∴過G、E、F三點的拋物線的解析式為y=-x²+8；

（3）連接OB，則OB⊥AH，由己知有∠GFE=30°，∠GEF=60°
要使以點A、O、H為頂點的三角形與三角形EGF相似，
必須滿足∠HAO=30°，或∠HAO=60°
（i）若∠HAO=30°，則OA=2，OB=24，
∴AF=24-12=12．
（ii）若∠HAO=60°，則OB=OAsin60°=12，OA=8，
∴AF=8-12．
分析：（1）本題可通過構(gòu)建直角三角形來求G點的坐標(biāo)，過G作GG′⊥x軸于G′，那么根據(jù)，可知∠GOE=60°，在直接三角形GOG′中，可根據(jù)半徑的長和∠GOE的度數(shù)求出G點的坐標(biāo)；
（2）已知了圓的半徑，易知E，F(xiàn)的坐標(biāo)為（-12，0），（12，0）．因此可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（3）連接OB，已知了∠GEF=60°，那么本題可分兩種情況進行討論：
①∠HAO=60°，那么在直角三角形OBA中，根據(jù)半徑的長和∠BAO的度數(shù)即可求出OA的長，也就能求出AF的長．
②∠HAO=30°，方法同①．
點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、相似三角形的判定和性質(zhì)等重要知識點，要注意的是（3）中，在不確定相似三角形哪些角是對應(yīng)角的情況下要分類討論，不要漏解．