Question

1．定義：只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形，連接它的兩個非直角頂點的線段叫做這個矩形的直徑．如圖，△ABC中．∠ABC=90°，以AC為一邊向形外作菱形ACEF，點D是菱形ACEF對角線的交點，可以得到損矩形ABCD，連接BD，則有∠DBC=∠DAC，∠DBC=60°，∠ACB=15°
（1）點M是AC中點，連接BM，DM，判斷△MBD的形狀，并說明理由．
（2）若BD=2$\sqrt{3}$，求：菱形ACEF的面積．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性質(zhì)得出AE⊥CF，AD=$\frac{1}{2}$AE，CD=$\frac{1}{2}$CF，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出DM=BM=CM，得出∠BDM=∠DBM，∠MBC=∠ACB=15°，求出∠DBM=∠BDM=45°，證出∠BMD=90°即可；
（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得出BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=$\sqrt{6}$，得出AC=2$\sqrt{6}$，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出AD=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{6}$，得出CD=3$\sqrt{2}$，求出AE=2AD=2$\sqrt{6}$，CF=2CD=6$\sqrt{2}$，即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）△MBD是等腰直角三角形；理由如下：
∵四邊形ACEF是菱形，
∴AE⊥CF，AD=$\frac{1}{2}$AE，CD=$\frac{1}{2}$CF，
∴∠ADC=90°=∠ABC，
∵點M是AC中點，
∴DM=$\frac{1}{2}$AC=AM=CM，BM=$\frac{1}{2}$AC=CM，
∴DM=BM=CM，
∴∠BDM=∠DBM，∠MBC=∠ACB=15°，
∵∠DBC=60°，
∴∠DBM=∠BDM=60°-15°=45°，
∴∠BMD=90°，
∴△MBD是等腰直角三角形；
（2）由（1）得：△MBD是等腰直角三角形，
∴BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=$\sqrt{6}$，
∴AC=2$\sqrt{6}$，
∵∠DBC=∠DAC=60°，
∴∠ACD=90°-60°=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{6}$，CD=$\sqrt{3}$AD=$\sqrt{3}$×$\sqrt{6}$=3$\sqrt{2}$，
∴AE=2AD=2$\sqrt{6}$，CF=2CD=6$\sqrt{2}$，
∴菱形ACEF的面積=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{6}$×6$\sqrt{2}$=12$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明三角形是等腰直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．