【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,AB=10.點Q與點BAC的同側(cè),且AQ⊥AC

1)如圖1,點Q不與點A重合,連結(jié)CQAB于點P.設(shè)AQ=x,AP=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出自變量x的取值范圍;

2)是否存在點Q,使△PAQ△ABC相似,若存在,求AQ的長;若不存在,請說明理由;

3)如圖2,過點BBD⊥AQ,垂足為D.將以點Q為圓心,QD為半徑的圓記為⊙Q.若點C⊙Q上點的距離的最小值為8,求⊙Q的半徑.

【答案】(1) (2) 存在點Q,使ABC∽△QAP,此時AQ=(3)Q的半徑為9

【解析】試題分析:(1)先由平行線分線段成比例得出, 代值即可得出結(jié)論;

2)先判斷出要使△PAQ△ABC相似,只有∠QPA=90°,進而由相似得出比例式即可得出結(jié)論;

3)分點C⊙O內(nèi)部和外部兩種情況,用勾股定理建立方程求解即可.

試題解析:(1AQAC,ACB=90°AQBC,,BC=6,AC=8AB=10,

AQ=xAP=y,;

2∵∠ACB=90°,而∠PAQ∠PQA都是銳角,要使△PAQ△ABC相似,只有∠QPA=90°,

CQAB,此時ABC∽△QAC,則,AQ=.故存在點Q,使ABC∽△QAP,此時AQ=

3C必在⊙Q外部,此時點C⊙Q上點的距離的最小值為CQ﹣DQ

設(shè)AQ=x當(dāng)點Q在線段AD上時,QD=6﹣x,QC=6﹣x+8=14﹣x,

x2+82=14﹣x2,解得:x=,即Q的半徑為

當(dāng)點Q在線段AD延長線上時,QD=x﹣6,QC=x﹣6+8=x+2,

∴x2+82=x+22,解得:x=15,即⊙Q的半徑為9

∴⊙Q的半徑為9

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