【題目】如圖1,將兩個完全相同的三角形紙片ABC和A′B′C重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠B′=30°,AC=AC′=2.
(1)如圖2,固定△ABC,將△A′B′C繞點C旋轉(zhuǎn),當(dāng)點A′恰好落在AB邊上時,
①∠CA′B′=;旋轉(zhuǎn)角ɑ=(0°<ɑ<90°),線段A′B′與AC的位置關(guān)系是;
(2)②設(shè)△A′BC的面積為S1 , △AB′C的面積為S2 , 則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是什么?證明你的結(jié)論;
(3)如圖3,∠MON=60°,OP平分∠MON,OP=PN=4,PQ∥MO交ON于點Q.若在射線OM上存在點F,使S△PNF=S△OPQ , 請直接寫出相應(yīng)的OF的長.
【答案】
(1)60°;60°;平行
(2)
解:S1=S2.理由如下:
∵A′B′∥AC,
∴A′E⊥BC,
在Rt△CA′E中,A′E= CA′=1,CE= A′E= ,
∴S1= 12 = ,
S2= 2 = ,
∴S1=S2
(3)
如圖3,作PF1∥ON交OM于F1,作PF2⊥OP交OM于F2,
∵∠MON=60°,OP平分∠MON,
∴∠POQ=∠POF1=30°,
∵PQ∥OM,PF1∥OQ,
∴四邊形OQPF1為平行四邊形,
∴PF1=OQ,
∴S△NF1P=S△POQ,
∵∠OPF2=90°,∠F2OP=30°,
∴∠OF2P=60°,
而∠F2F1P=∠MON=60°,
∴△F2F1P為等邊三角形,
∴PF2=PF1,
由(1)中的結(jié)論得S△PNF2=S△OPQ,
∴點F1、點F2為滿足條件的點,
在Rt△OPF2中,sin∠POF2= ,
∴OF2= = ,
∴PF2= OF2= ,
∵PF1∥OQ,
∴∠OPF1=∠POQ=30°,
∴∠OPF1=∠POF1=30°,
∴OF1=PF1=PF2,
∴OF1= ,
綜上所述,OF的長為 或 .
【解析】解:(1)①如圖1,∵∠C=90°,∠B=∠B′=30°,AC=AC′=2,
∴∠CAB=∠CA′B′=60°,BC=2 ,
如圖2,
∵△A′B′C繞點C旋轉(zhuǎn),點A′恰好落在AB邊上,
∴∠CAB=∠CA′B′=60°,CA=CA′,∠ACA′為旋轉(zhuǎn)角,
∴△CAA′為等邊三角形,
即旋轉(zhuǎn)角為60°;
∵∠CA′B′=∠ACA′,
∴A′B′∥AC;
所以答案是60°;60°;平行;
【考點精析】利用全等三角形的性質(zhì)和圖形的旋轉(zhuǎn)對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知全等三角形的對應(yīng)邊相等; 全等三角形的對應(yīng)角相等;每一個點都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向轉(zhuǎn)動了相同的角度,任意一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角,對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.旋轉(zhuǎn)的方向、角度、旋轉(zhuǎn)中心是它的三要素.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某通訊公司提供了兩種移動電話收費方式:方式1,收月基本費20元,再以每分鐘0.1元的價格按通話時間計費;方式2,收月基本費20元,送80分鐘通話時間,超過80分鐘的部分,以每分鐘0.15元的價格計費.
下列結(jié)論:
①如圖描述的是方式1的收費方法;
②若月通話時間少于240分鐘,選擇方式2省錢;
③若月通訊費為50元,則方式1比方式2的通話時間多;
④若方式1比方式2的通訊費多10元,則方式1比方式2的通話時間多100分鐘.
其中正確的是( )
A.只有①② B.只有③④ C.只有①②③ D.①②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,BC=2AB=4,點E,F分別是BC,AD的中點.
(1)求證:△ABE≌△CDF;
(2)當(dāng)四邊形AECF為菱形時,求出該菱形的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,畫一個長和寬分別為、的長方形,并將其按一定的方式進行旋轉(zhuǎn).
你能得到幾種不同的圓柱體?
把一個平面圖形旋轉(zhuǎn)成幾何體,必須明確哪兩個條件?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC和△DEF中,已知AB=DE,∠A=∠D,若要得到△ABC≌△DEF,則還要補充一個條件,在下列補充方法:①AC=DF;②∠B=∠E;③∠B=∠F;④∠C=∠F ⑤BC=EF中,則錯誤結(jié)論的序號是__________ .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)家高斯在上學(xué)時曾經(jīng)研究過這樣一個問題,?
經(jīng)過研究,這個問題的一般性結(jié)論是,其中為正整數(shù),現(xiàn)在我們來研究一個類似的問題:?
觀察下面三個特殊的等式:
將這三個等式的兩邊相加,可以得到.
讀完這段材料,請你計算:
(1)________;(直接寫出結(jié)果)
(2);(寫出計算過程)
(3)________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,∠A+∠B=200°,作∠ADC、∠BCD的平分線交于點O1稱為第1次操作,作∠O1DC、∠O1CD的平分線交于點O2稱為第2次操作,作∠O2DC、∠O2CD的平分線交于點O3稱為第3次操作,…,則第5次操作后∠CO5D的度數(shù)是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在的正方形網(wǎng)格中,點P是的邊OB上的一點.
(1)過點P畫OB的垂線,交OA于點C;過點P畫OA的垂線,垂足為H;
(2)線段PH的長度是點P到直線__________的距離;
(3)線段__________的長度是點C到直線OB的距離;
(4)線段PC、PH、OC這三條線段大小關(guān)系是__________(用“<”號連接).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】計算:
(1)0﹣(﹣2)
(2)(+10)+(﹣14)
(3)5.6+(﹣0.9)+4.4+(﹣8.1)
(4)1﹣+﹣+
(5)(﹣0.5)﹣(﹣3)+2.75﹣(+7).
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