Question

操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90⁰，將一塊等腰三角形板的直角頂點放在斜邊AB的中點P處，將三角板繞點P旋轉，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點。圖①，②，③是旋轉三角板得到的圖形中的3種情況。研究：

（1）       三角板繞點P旋轉，觀察線段PD和PE之間有什么數(shù)量關系？并結合圖②加以證明。

（2）       三角板繞點P旋轉，是否能居為等腰三角形？若能，指出所有情況（即寫出△PBE為等腰三角形時CE的長）；若不能，請說明理由。

    （3）若將三角板的直角頂點放在斜邊AB上的M處，且AM：MB＝1：3，和前面一樣操作，試問線段MD和ME之間有什么數(shù)量關系？并結合圖④加以證明。

     

Answer 1

解：(1)已知拋物線y₁=-x²+bx+c經過點A(1,0)， B(0,-2)，       

∴    解得

∴ 所求拋物線的解析式為y₁=-x² +3x-2 ．

′

（3）       解法1： ∵ A(1,0)，B(0,-2)，

（4）        ∴ OA=1,OB=2．

      由旋轉性質可得O′A=OA=1，O′B′=OB=2．

∴ B′ 點的坐標為 (3，-1) ．

      ∵ 拋物線y₁的頂點D (,)，

拋物線y₂ 是由y₁沿對稱軸平移后得到的，

∴ 可設y₂ 的解析式為y₂= - (x -)² +k ．

∵ y₂經過點B′，∴ - (3 -)² +k= -1．解得k=．

∴ y₂= - (x -)² +．…………………………………………………………… 4′

解法2：同解法1 得B′ 點的坐標為 (3，-1) ．

∵ 當x=3時，由y₁=-x² +3x-2得y=-2，可知拋物線y₁過點 (3，-2) ．

∴ 將拋物線y₁沿y軸向上平移1個單位后過點B′．

∴ 平移后的拋物線y₂的解析式為：y₂=-x² +3x-1 ．…………………………… 4′

（3）∵ y₁=-x²+3x-2 = -(x-)² +，y₂=-x² +3x-1= -(x-)² +，

∴ 頂點D(,)，D₁(,)． ∴ DD₁=1．

又B₁(0，-2)，B₁(0，-1)，∴ BB₁=1．

 設M點坐標為(m，n) ，

∵ BB₁=DD₁，由，

可知當m≤0時，符合條件的M點不存在；…………………………………… 5′

  而當0<m<時，有m=2(-m)，解得m=1；

當m>時，有m=2(m -)，解得m=3．

當m=1時，n=1； 當m=3時，n=-1．

∴ M₁(1,1)，M₂ (3,-1)．…………………………………………………………… 7′