Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y＝x2﹣2mx+m2﹣1與y軸交于點(diǎn)C．

（1）試用含m的代數(shù)式表示拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）將拋物線(xiàn)y＝x2﹣2mx+m2﹣1沿直線(xiàn)y＝﹣1翻折，得到的新拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)D，若m＞0，CD＝8，求m的值．

（3）已知A（﹣k+4，1），B（1，k﹣2），在（2）的條件下，當(dāng)線(xiàn)段AB與拋物線(xiàn)y＝x2﹣2mx+m2﹣1只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)求出k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（m，﹣1）；（2）m＝2；（3）2﹣≤k＜2+．

【解析】

（1）將拋物線(xiàn)的解析式化為頂點(diǎn)式即可求得結(jié)果；

（2）依題意根據(jù)對(duì)稱(chēng)性求得OC=3，即可得m2﹣1=3，從而求得m的值；

（3）將點(diǎn)A(k+4，1)，點(diǎn)B(1，k2)代入拋物線(xiàn)，此時(shí)是線(xiàn)段AB與拋物線(xiàn)剛相交的時(shí)候，結(jié)合圖象分析即可得k的取值范圍，再求出AB的解析式，根據(jù)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)可求出k的另外一個(gè)取值．

解：（1）∵y=x22mx+m21=(xm)21，

∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m，1)；

（2）由y=x22mx+m21得，

∵CD=8，依題意由對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)C到直線(xiàn)y=1的距離為4，

∴OC=3，

∴m2﹣1=3，解得：m=±2，

∵m＞0，

∴m=2；

（3）∵m=2，

∴拋物線(xiàn)為y=x24x+3，

當(dāng)拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(k+4，1)時(shí)，或；

當(dāng)拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(1，k2)時(shí)，k=2；

∴線(xiàn)段AB與拋物線(xiàn)y=x22mx+m21只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，由圖象得：

或，

設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為：y=ax+b，將點(diǎn)A(k+4，1)，點(diǎn)B(1，k2)代入得：

，解得，

∴y=x+k3，

若直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)y=x22mx+m21只有一個(gè)公共點(diǎn)，

則x24x+3=x+ k3，即x25x+6k=0，=0，

∴=254×(6k)=0，

解得：，此時(shí)線(xiàn)段AB與拋物線(xiàn)y=x24x+3只有一個(gè)公共點(diǎn)，

綜上所述：當(dāng)線(xiàn)段AB與拋物線(xiàn)y=x22mx+m21只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，

k的取值范圍是：或或．