Question

如圖：已知拋物線y₁=-x²-2x+8的圖象交x軸于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C．拋物線y₂經(jīng)過B、C兩點(diǎn)且對稱軸為直線x=3．
（1）確定A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求拋物線y₂的解析式；
（3）若過點(diǎn)（0，3）且平行于x軸的直線與拋物線y₂交于M、N兩點(diǎn)，以MN為一邊，拋物線y₂上任意一點(diǎn)P（x，y）為頂點(diǎn)作平行四邊形，若平行四邊形的面積為S，寫出S關(guān)于P點(diǎn)縱坐標(biāo)y的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析：（1）把x=0代入拋物線y₁可以求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，把y=0代入拋物線y₁可以求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)．（2）知道拋物線的對稱軸，設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式，然后把B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，用待定系數(shù)法求出拋物線y₂的解析式．（3）先求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，確定線段MN的長度，然后分別考慮點(diǎn)P在MN上方和下方兩種情況求出平行四邊形的面積S關(guān)于點(diǎn)P縱坐標(biāo)y的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）∵拋物線y₁=-x²-2x+8與y軸正半軸交于C
∴由拋物線y₁=-x²-2x+8可知C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，8）
∵拋物線y₁=-x²-2x+8與x軸的交點(diǎn)即y=0
∴把y=0代入到y(tǒng)₁=-x²-2x+8得：-x²-2x+8=0解得：x₁=-4 x₂=2
∴由圖可知A點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）

（2）設(shè)拋物線y₂的解析式為y₂=a（x-h）²+k
∵對稱軸為直線x=3
∴y₂=a（x-3）²+k
把B（2，0），C（0，8）代入y₂=a（x-3）²+k得：

a(2-3)2+k=0 a(0-3)2+k=8

解得：

a=1 k=-1

∴拋物線y₂=（x-3）²-1

（3）∵拋物線y₂=（x-3）²-1與過點(diǎn)（0，3）平行于x軸的直線相交于M點(diǎn)和N點(diǎn)
∴把y=3代入拋物線y₂=（x-3）²-1得：（x-3）²-1=3解得：x₁=1；x₂=5
∴M點(diǎn)坐標(biāo)（1，3），N點(diǎn)坐標(biāo)（5，3）
∴MN=4
∵拋物線y₂=（x-3）²-1
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-1）
當(dāng)y＞3時，平行四邊開的面積為：
S=4（y-3）=4y-12
當(dāng)-1≤y＜3時，平行四邊形的面積為：
S=4（3-y）=-4y+12

點(diǎn)評：本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，（1）分別把x=0和y=0代入二次函數(shù)，求出拋物線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．（2）根據(jù)題意列出拋物線的頂點(diǎn)式，然后用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．（3）先求出平行四邊形的一邊MN的長，然后用平行四邊形的面積等于底乘以高，得到面積S關(guān)于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式．