【題目】如圖,拋物線y= x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A(0,﹣6)、B(﹣2,0),與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)C.

(1)求此拋物線的解析式;
(2)將直線AC向下平移m個(gè)單位,使平移后的直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)M,求m的值及點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)拋物線上是否存在點(diǎn)P,使△PAC為直角三角形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)解:把點(diǎn)A(0,﹣6)、B(﹣2,0)代入拋物線y= x2+bx+c中得:

,

解得: ,

∴拋物線的解析式為:y= x2﹣2x﹣6;


(2)解:y= x2﹣2x﹣6,

當(dāng)y=0時(shí), x2﹣2x﹣6=0,

解得:x1=﹣2,x2=6,

∴C(6,0);

設(shè)直線AC的解析式為:y=kx+b,

,

解得: ,

∴直線AC的解析式為:y=x﹣6,

直線AC向下平移m個(gè)單位后的直線關(guān)系式為:y=x﹣6﹣m,

∵平移后的直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)M,

,

得: =0,

△=(﹣3)2﹣4× m=0,

m= ,

代入得:y=x﹣6﹣m=x﹣ ,

,

解得:

∴M(3,﹣ );


(3)解:分三種情況:

①當(dāng)∠PAC=90°時(shí),如圖1,

∵OA=OC=6,∠AOC=90°,

∴△AOC是等腰直角三角形,

∴∠ACO=45°,

∴△EAC是等腰直角三角形,

∴AE=AC,

∴OE=OC=6,

∴E(﹣6,0),

設(shè)AE:y=kx+b,

,解得: ,

∴直線AE的解析式為:y=﹣x﹣6,

,

﹣2x﹣6=﹣x﹣6,

解得:x1=0(舍),x2=2,

∴P(2,﹣8),

②當(dāng)∠ACP=90°時(shí),如圖2,

∠PCB=90°﹣45°=45°,

過(guò)P作PE⊥BC于E,

∴△PEC是等腰直角三角形,

∴PE=EC,

設(shè)P(x, x2﹣2x﹣6),

∴PE= x2﹣2x﹣6,EC=﹣x﹣6,

x2﹣2x﹣6=﹣x﹣6,

解得:x1=6,x2=﹣4,

∵P在第二象限,

∴x=6不符合題意,舍去,x=﹣4,

∴P(﹣4,10),

③以AC為直徑畫(huà)圓,交拋物線于兩點(diǎn)P1、P2,如圖3,

則∠AP1C=∠AP2C=90°,

= ,

= ,

AC2=62+62=72,

由勾股定理得: + =72,

化簡(jiǎn)得:x3﹣8x2+8x+24=0,

x3﹣2x2﹣4x﹣(6x2﹣12x﹣24)=0,

x(x2﹣2x﹣4)﹣6(x2﹣2x﹣4)=0,

(x﹣6)(x2﹣2x﹣4)=0,

解得:x1=6(舍),x2=1+ ,x3=1﹣ ,

∴P(1+ ,﹣5﹣ )或(1﹣ ,﹣5+ ),

綜上所述,△PAC為直角三角形時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(2,﹣8),(﹣4,10),(1+ ,﹣5﹣ ),(1﹣ ,﹣5+ ).


【解析】(1)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式;(2)由直線向下平移m個(gè)單位得:y=x﹣6﹣m,由直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)M可知:由解析式列方程組根據(jù)△=0,可得結(jié)論;(3)分三種情況:①當(dāng)∠PAC=90°時(shí),如圖1,由△EAC是等腰直角三角形,可得E(﹣6,0),直線AP與拋物線的交點(diǎn)就是P,列方程組可得P的坐標(biāo);②當(dāng)∠ACP=90°時(shí),如圖2,由PE=EC,列式: x2﹣2x﹣6=﹣x﹣6,解出即可;③當(dāng)APC=90°時(shí),如圖3,畫(huà)圓,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可知,有兩個(gè)點(diǎn)符合,設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),然后表示出AC2、PA2、PC2的值,根據(jù)勾股定理可得到關(guān)于P點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)的等量關(guān)系式,聯(lián)立拋物線的解析式,即可求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

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若有理數(shù)a、b滿(mǎn)足|a1|+(b3)2=0,

+++…+的值.

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“宇番2號(hào)”番茄掛果數(shù)量統(tǒng)計(jì)表

掛果數(shù)量x(個(gè))

頻數(shù)(株)

頻率

25≤x<35

6

0.1

35≤x<45

12

0.2

45≤x<55

a

0.25

55≤x<65

18

b

65≤x<75

9

0.15

請(qǐng)結(jié)合圖表中的信息解答下列問(wèn)題:

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(2)將頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整;

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