【題目】如圖,拋物線y= x2+bx+c過點(diǎn)A(0,﹣6)、B(﹣2,0),與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)C.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)將直線AC向下平移m個單位,使平移后的直線與拋物線有且只有一個公共點(diǎn)M,求m的值及點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)拋物線上是否存在點(diǎn)P,使△PAC為直角三角形?若存在,請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)解:把點(diǎn)A(0,﹣6)、B(﹣2,0)代入拋物線y= x2+bx+c中得:
,
解得: ,
∴拋物線的解析式為:y= x2﹣2x﹣6;
(2)解:y= x2﹣2x﹣6,
當(dāng)y=0時, x2﹣2x﹣6=0,
解得:x1=﹣2,x2=6,
∴C(6,0);
設(shè)直線AC的解析式為:y=kx+b,
則 ,
解得: ,
∴直線AC的解析式為:y=x﹣6,
直線AC向下平移m個單位后的直線關(guān)系式為:y=x﹣6﹣m,
∵平移后的直線與拋物線有且只有一個公共點(diǎn)M,
則 ,
得: =0,
△=(﹣3)2﹣4× m=0,
m= ,
代入得:y=x﹣6﹣m=x﹣ ,
則 ,
解得: ,
∴M(3,﹣ );
(3)解:分三種情況:
①當(dāng)∠PAC=90°時,如圖1,
∵OA=OC=6,∠AOC=90°,
∴△AOC是等腰直角三角形,
∴∠ACO=45°,
∴△EAC是等腰直角三角形,
∴AE=AC,
∴OE=OC=6,
∴E(﹣6,0),
設(shè)AE:y=kx+b,
則 ,解得: ,
∴直線AE的解析式為:y=﹣x﹣6,
則 ,
﹣2x﹣6=﹣x﹣6,
解得:x1=0(舍),x2=2,
∴P(2,﹣8),
②當(dāng)∠ACP=90°時,如圖2,
∠PCB=90°﹣45°=45°,
過P作PE⊥BC于E,
∴△PEC是等腰直角三角形,
∴PE=EC,
設(shè)P(x, x2﹣2x﹣6),
∴PE= x2﹣2x﹣6,EC=﹣x﹣6,
∴ x2﹣2x﹣6=﹣x﹣6,
解得:x1=6,x2=﹣4,
∵P在第二象限,
∴x=6不符合題意,舍去,x=﹣4,
∴P(﹣4,10),
③以AC為直徑畫圓,交拋物線于兩點(diǎn)P1、P2,如圖3,
則∠AP1C=∠AP2C=90°,
∵ = ,
= ,
AC2=62+62=72,
由勾股定理得: + =72,
化簡得:x3﹣8x2+8x+24=0,
x3﹣2x2﹣4x﹣(6x2﹣12x﹣24)=0,
x(x2﹣2x﹣4)﹣6(x2﹣2x﹣4)=0,
(x﹣6)(x2﹣2x﹣4)=0,
解得:x1=6(舍),x2=1+ ,x3=1﹣ ,
∴P(1+ ,﹣5﹣ )或(1﹣ ,﹣5+ ),
綜上所述,△PAC為直角三角形時,點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(2,﹣8),(﹣4,10),(1+ ,﹣5﹣ ),(1﹣ ,﹣5+ ).
【解析】(1)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式;(2)由直線向下平移m個單位得:y=x﹣6﹣m,由直線與拋物線有且只有一個公共點(diǎn)M可知:由解析式列方程組根據(jù)△=0,可得結(jié)論;(3)分三種情況:①當(dāng)∠PAC=90°時,如圖1,由△EAC是等腰直角三角形,可得E(﹣6,0),直線AP與拋物線的交點(diǎn)就是P,列方程組可得P的坐標(biāo);②當(dāng)∠ACP=90°時,如圖2,由PE=EC,列式: x2﹣2x﹣6=﹣x﹣6,解出即可;③當(dāng)APC=90°時,如圖3,畫圓,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可知,有兩個點(diǎn)符合,設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),然后表示出AC2、PA2、PC2的值,根據(jù)勾股定理可得到關(guān)于P點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)的等量關(guān)系式,聯(lián)立拋物線的解析式,即可求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在一次戶外研學(xué)活動中,老師帶領(lǐng)學(xué)生去測一條東西流向的河流的寬度(把河兩岸看做平行線,河寬即兩岸之間的垂線段的長度).某同學(xué)在河南岸A處觀測到河對岸水邊有一棵樹P,測得P在A北偏東60°方向上,沿河岸向東前行20米到達(dá)B處,測得P在B北偏東45°方向上.求河寬(結(jié)果保留一位小數(shù). , ).
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【題目】甲乙兩位同學(xué)利用燈光下的影子來測量一路燈A的高度,如圖,當(dāng)甲走到點(diǎn)C處時,乙測得甲直立身高CD與其影子長CE正好相等,接著甲沿BC方向繼續(xù)向前走,走到點(diǎn)E處時,甲直立身高EF的影子恰好是線段EG,并測得EG=2.5m.已知甲直立時的身高為1.75m,求路燈的高AB的長.(結(jié)果精確到0.1m)
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【題目】請觀察下列算式,找出規(guī)律并填空
①=1﹣,② =×(1﹣),③=×(1﹣),④=×(1﹣),…
(1)則第10個算式是______,
(2)第n個算式為_______=_______.
(3)從以上規(guī)律中你可得到一些啟示嗎?根據(jù)你得到的啟示,試解答下題:
若有理數(shù)a、b滿足|a﹣1|+(b﹣3)2=0,
求+++…+的值.
(4)如圖,把一個面積為1的正方形等分成兩個面積為的長方形,接著把面積為的長方形等分成兩個面積為的正方形,再把面積為的正方形等分成兩個面積為的矩形.如此進(jìn)行下去,試?yán)脠D形揭示的規(guī)律計(jì)算:++++++(直接寫答案)
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【題目】在太空種子種植體驗(yàn)實(shí)踐活動中,為了解“宇番2號”番茄,某?萍夹〗M隨機(jī)調(diào)查60株番茄的掛果數(shù)量x(單位:個),并繪制如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表:
“宇番2號”番茄掛果數(shù)量統(tǒng)計(jì)表
掛果數(shù)量x(個) | 頻數(shù)(株) | 頻率 |
25≤x<35 | 6 | 0.1 |
35≤x<45 | 12 | 0.2 |
45≤x<55 | a | 0.25 |
55≤x<65 | 18 | b |
65≤x<75 | 9 | 0.15 |
請結(jié)合圖表中的信息解答下列問題:
(1)統(tǒng)計(jì)表中,a= ,b= ;
(2)將頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整;
(3)若繪制“番茄掛果數(shù)量扇形統(tǒng)計(jì)圖”,則掛果數(shù)量在“35≤x<45”所對應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)為 °;
(4)若所種植的“宇番2號”番茄有1000株,則可以估計(jì)掛果數(shù)量在“55≤x<65”范圍的番茄有 株.
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【題目】已知:如圖,∠1=∠2,則不一定能使△ABD≌△ACD的條件是 ( )
A. AB=AC B. BD=CD C. ∠B=∠C D. ∠BDA=∠CDA
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【題目】如圖,長方形OABC中,O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),A點(diǎn)的坐標(biāo)為,C點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)B在第一象限內(nèi),點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿著的路線移動即:沿著長方形移動一周.
寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)______
當(dāng)點(diǎn)P移動了4秒時,描出此時P點(diǎn)的位置,并求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
在移動過程中,當(dāng)點(diǎn)P到x軸距離為5個單位長度時,求點(diǎn)P移動的時間.
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【題目】已知:如圖,在△ABC中,∠BAC=1200,以BC為邊向形外作等邊三角形△BCD,把△ABD繞著點(diǎn)D按順時針方向旋轉(zhuǎn)600后得到△ECD,若AB=3,AC=2,求∠BAD的度數(shù)與AD的長.
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【題目】如圖,在□ ABCD中,點(diǎn)E、F在對角線BD上,且BE=DF.
(1)求證:AE=CF;
(2)求證:四邊形AECF是平行四邊形.
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