【題目】如圖,直線y=﹣x+4x軸交于點B,與y軸交于點C,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過B,C兩點,與x軸另一交點為A.點P以每秒個單位長度的速度在線段BC上由點B向點C運動(點P不與點B和點C重合),設(shè)運動時間為t秒,過點Px軸垂線交x軸于點E,交拋物線于點M

1)求拋物線的解析式;

2)如圖,過點Py軸垂線交y軸于點N,連接MNBC于點Q,當時,求t的值;

3)如圖,連接AMBC于點D,當△PDM是等腰三角形時,直接寫出t的值.

【答案】1y=﹣x2+3x+4;(2t的值為;(3)當△PDM是等腰三角形時,t1t1

【解析】

1)求直線y=-x+4x軸交點B,與y軸交點C,用待定系數(shù)法即求得拋物線解析式.
2)根據(jù)點BC坐標求得∠OBC=45°,又PEx軸于點E,得到PEB是等腰直角三角形,由t求得BE=PE=t,即可用t表示各線段,得到點M的橫坐標,進而用m表示點M縱坐標,求得MP的長.根據(jù)MPCN可證,故有,把用t表示的MP、NC代入即得到關(guān)于t的方程,求解即得到t的值.
3)因為不確定等腰△PDM的底和腰,故需分3種情況討論:①若MD=MP,則∠MDP=MPD=45°,故有∠DMP=90°,不合題意;②若DM=DP,則∠DMP=MPD=45°,進而得AE=ME,把含t的式子代入并解方程即可;③若MP=DP,則∠PMD=PDM,由對頂角相等和兩直線平行內(nèi)錯角相等可得∠CFD=PMD=PDM=CDF進而得CF=CD.用t表示M的坐標,求直線AM解析式,求得AMy軸交點F的坐標,即能用t表示CF的長.把直線AM與直線BC解析式聯(lián)立方程組,解得x的值即為點D橫坐標.過Dy軸垂線段DG,得等腰直角△CDG,用DG即點D橫坐標,進而可用t表示CD的長.把含t的式子代入CF=CD,解方程即得到t的值.

1)直線y=﹣x+4中,當x0時,y4

C0,4

y=﹣x+40時,解得:x4

B4,0

∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過BC兩點

解得:

∴拋物線解析式為y=﹣x2+3x+4

2)∵B4,0),C0,4),∠BOC90°

OBOC

∴∠OBC=∠OCB45°

MEx軸于點E,PBt

∴∠BEP90°

RtBEP中,

,

∵點M在拋物線上

,

,

PNy軸于點N

∴∠PNO=∠NOE=∠PEO90°

∴四邊形ONPE是矩形

ONPEt

NCOCON4t

MPCN

∴△MPQ∽△NCQ

解得:(點P不與點C重合,故舍去)

t的值為

3)∵∠PEB90°,BEPE

∴∠BPE=∠PBE45°

∴∠MPD=∠BPE45°

MDMP,則∠MDP=∠MPD45°

∴∠DMP90°,即DMx軸,與題意矛盾

DMDP,則∠DMP=∠MPD45°

∵∠AEM90°

AEME

y=﹣x2+3x+40時,解得:x1=﹣1,x24

A(﹣10

∵由(2)得,xM4tMEyM=﹣t2+5t

AE4t﹣(﹣1)=5t

5t=﹣t2+5t

解得:t11,t250t4,舍去)

MPDP,則∠PMD=∠PDM

如圖,記AMy軸交點為F,過點DDGy軸于點G

∴∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF

CFCD

A(﹣1,0),M4t,﹣t2+5t),設(shè)直線AM解析式為yax+m

解得:

∴直線AM

F0,t

CFOCOF4t

tx+t=﹣x+4,解得:,

,

∵∠CGD90°,∠DCG45°

,

解得:

綜上所述,當△PDM是等腰三角形時,t1

練習(xí)冊系列答案
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13組頻數(shù)分布表

等級

分數(shù)段

頻數(shù)(人數(shù))

D

60≤x70

2

C

70≤x80

10

B

80≤x90

14

A

90≤x100

4

根據(jù)以上信息,解答下列問題:

1)求第4小組10名學(xué)生成績的眾數(shù);

2)請你仿照數(shù)學(xué)課代表制作全班14組頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖;

14組頻數(shù)分布表

等級

分數(shù)段

頻數(shù)(人數(shù))

D

60≤x70

   

C

70≤x80

   

B

80≤x90

   

A

90≤x100

   

3)全校九年級共有600名學(xué)生參加期中考試,估計該校數(shù)學(xué)成績?yōu)?/span>A等級的學(xué)生有多少人?

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求統(tǒng)計的這組每周平均課外閱讀時間的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù);

若該校九年級共有名學(xué)生,根據(jù)統(tǒng)計的這組每周平均課外閱讀時間的樣本數(shù)據(jù),估計該校九年級每周平均課外閱讀時間為的學(xué)生人數(shù).

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