Question

12．如圖，已知AD是△ABC的中線，AM⊥AB，AM=AB，AN⊥AC，AN=AC．求證：MN=2AD．

Answer 1

分析 延長AD至E，使DE=AD，連接BE，根據(jù)三角形中線的定義可得BD=CD，然后利用“邊角邊”證明△BDE和△CDA全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=AC=AN，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠DBE=∠DCA，再根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行求出AC∥BE，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補可得∠ABE+∠BAC=180°，然后求出∠ABE=∠MAN，再利用“邊角邊”證明△ABE和△MAN全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=MN，即可得出答案．

解答 證明：如圖，延長AD至E，使DE=AD，連接BE，

∵AD是△ABC的中線，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=DC}\\{∠BDE=∠ADC}\\{DE=AD}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△CDA（SAS），
∴BE=AC=AN，∠DBE=∠DCA，
∴AC∥BE，
∴∠ABE+∠BAC=180°，
∵∠BAM=∠CAN=90°，
∴∠MAN+∠BAC=180°，
∴∠ABE=∠MAN，
在△ABE和△MAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AM}\\{∠ABE=∠MAN}\\{AN=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△MAN（SAS），
∴AE=AM，
∴MN=2AD．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難點在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形．