Question

2．如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A，C間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，點(diǎn)D，E的坐標(biāo)分別為（0，3），（-2，0），連接PD，PE，DE．
（1）求拋物線的解析式；
（2）小明探究點(diǎn)P的位置發(fā)現(xiàn)：PD與PF的差是定值，請(qǐng)直接寫出PD-PF=1；并證明當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上A，C間運(yùn)動(dòng)時(shí)（不包括端點(diǎn)），結(jié)論仍然成立．
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PDE的周長(zhǎng)最�。繉懗龃藭r(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出△PDE周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-4，0）、（0，4），設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+4，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入可求得a的值，從而得到拋物線的解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x，-$\frac{1}{4}$x²+4），從而可求得PF=$\frac{1}{4}$x²，由PM⊥y軸可知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，$-\frac{1}{4}$x²+4），從而可知PM=|x|．DM=（$\frac{1}{4}{x}^{2}-1$）²，由勾股定理可求得PD=$\frac{1}{4}{x}^{2}+1$，從而可求得PD-PF=1；
（3）在△DEO中，由勾股定理可求得DE=$\sqrt{13}$，由題意可知當(dāng)PE+PD有最小時(shí)，△PDE的周長(zhǎng)最小，由PD-PF=1可知PE+PD=PE+PF+1，故此當(dāng)P，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PF最小，從而得到點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-2，然后將x=-2代入拋物線的解析式，從而可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而可求得△PED的周長(zhǎng)最小值為5+$\sqrt{13}$．

解答 解：（1）∵正方形的邊長(zhǎng)為4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4）．
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+4，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得：16a+4=0．
解得：a=$-\frac{1}{4}$．
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+4．
（2）PD-PF=1．
理由：如圖1所示：過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M．

設(shè)P（x，-$\frac{1}{4}$x²+4），則PF=4-（-$\frac{1}{4}$x²+4）=$\frac{1}{4}$x²．  
在Rt△PDM中，由勾股定理可知：PD²=PM²+DM²=（-x）²+[3-（-$\frac{1}{4}$x²+4）]²=$\frac{1}{16}{x}^{4}$+$\frac{1}{2}{x}^{2}$+1=$（\frac{1}{4}{x}^{2}+1）^{2}$，
∴PD=$\frac{1}{4}$x²+1．
∴PD-PF=$\frac{1}{4}{x}^{2}+1-\frac{1}{4}{x}^{2}$=1．
∴結(jié)論仍然成立．
故答案為：1．
（3）在△DEO中，由勾股定理可知：DE=$\sqrt{E{O}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$．
∵在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，DE大小不變，
∴PE與PD的和最小時(shí)，△PDE的周長(zhǎng)最�。�
∵PD-PF=1，
∴PD=PF+1．
∴PE+PD=PE+PF+1．
∴當(dāng)P，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PF最�。�
此時(shí)點(diǎn)P，E的橫坐標(biāo)都為-2．
將x=-2代入y=-$\frac{1}{4}{x}^{2}$+4，得y=3．
∴P（-2，3）．
∴△PDE的周長(zhǎng)最小值=PE+PF+1+ED=5+$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求拋物線的解析式、勾股定理、線段的性質(zhì)，由PD=PF+1得到當(dāng)P，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PF最小是解題的關(guān)鍵．