Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+3(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，拋物線交x軸于A、C兩點(diǎn)，與直線y＝x﹣1交于A、B兩點(diǎn)，直線AB與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E．

(1)求拋物線的解板式．

(2)點(diǎn)P在直線AB上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，若△ABP的面積最大，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

(3)在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)B、E、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出符合條件點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3；(2)點(diǎn)P(，)；(3)符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．

【解析】

(1)令y＝0，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸是x＝﹣1，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；

(2)設(shè)點(diǎn)P(m，﹣m2﹣2m+3)，利用拋物線與直線相交，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)P作PF∥y軸交直線AB于點(diǎn)F，利用S△ABP＝S△PBF+S△PFA，用含m的式子表示出△ABP的面積，利用二次函數(shù)的最大值，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后求出直線BC、直線BE、直線CE的解析式，再根據(jù)以點(diǎn)B、E、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，得到直線D1D2、直線D1D3、直線D2D3的解析式，即可求出交點(diǎn)坐標(biāo)．

解：(1)令y＝0，可得：x﹣1＝0，解得：x＝1，

∴點(diǎn)A(1，0)，

∵拋物線y＝ax2+bx+3(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，

∴﹣1×2﹣1＝﹣3，即點(diǎn)C(﹣3，0)，

∴ ，解得：

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3；

(2)∵點(diǎn)P在直線AB上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，

∴設(shè)點(diǎn)P(m，﹣m2﹣2m+3)，

∵拋物線與直線y＝x﹣1交于A、B兩點(diǎn)，

∴ ，解得：，

∴點(diǎn)B(﹣4，﹣5)，

如圖，過(guò)點(diǎn)P作PF∥y軸交直線AB于點(diǎn)F，

則點(diǎn)F(m，m﹣1)，

∴PF＝﹣m2﹣2m+3﹣m+1＝﹣m2﹣3m+4，

∴S△ABP＝S△PBF+S△PFA

＝(﹣m2﹣3m+4)(m+4)+(﹣m2﹣3m+4)(1﹣m)

＝-（m+ ）2+ ，

∴當(dāng)m＝時(shí)，P最大，

∴點(diǎn)P(，).

(3)當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣1﹣1＝﹣2，

∴點(diǎn)E(﹣1，﹣2)，

如圖，直線BC的解析式為y＝5x+15，直線BE的解析式為y＝x﹣1，直線CE的解析式為y＝﹣x﹣3，

∵以點(diǎn)B、C、E、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

∴直線D1D3的解析式為y＝5x+3，直線D1D2的解析式為y＝x+3，直線D2D3的解析式為y＝﹣x﹣9，

聯(lián)立 得D1(0，3)，

同理可得D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)，

綜上所述，符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．