Question

15．已知：點(diǎn)P（m，n）為拋物線y=ax²-4ax+b（a≠0）上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）P₁（1，n₁），P₂（3，n₂）為P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的兩個(gè)位置，判斷n₁，n₂的大小，并說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)1≤m≤4時(shí)，n的取值范圍是1≤n≤4，求拋物線的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的解析式可以找出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，由此可得出P₁（1，n₁）、P₂（3，n₂）兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，由此即可得出結(jié)論；
（2）分a＞0和a＜0兩種情況考慮，依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)找出關(guān)于a、b的二元一次方程組，解方程組即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）n₁=n₂．理由如下：
∵y=ax²-4ax+b=a（x-2）²+b-4a，
∴該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=2，
∴P₁（1，n₁）、P₂（3，n₂）兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，
∴n₁=n₂．
（2）①當(dāng)a＜0時(shí)，有$\left\{\begin{array}{l}{b-4a=4}\\{16a-16a+b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{4}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
此時(shí)拋物線的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x²+3x+1；
②當(dāng)a＞0時(shí)，有$\left\{\begin{array}{l}{16a-16a+b=4}\\{b-4a=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{4}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
此時(shí)拋物線的解析式為y=$\frac{3}{4}$x²-3x+4．
綜上可知：拋物線的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x²+3x+1或y=$\frac{3}{4}$x²-3x+4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是：（1）找出P₁（1，n₁）、P₂（3，n₂）兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)；（2）分a＞0和a＜0兩種情況考慮．解決該題型題目時(shí)，分類(lèi)討論是關(guān)鍵．