Question

16．在Rt△ACB中，∠C=90°，點O是AB的中點，點M，N分別在邊AC，BC上，OM⊥ON，連MN，AC=4，BC=8，設(shè)AM=a，BN=b，MN=c．
（1）求證：a²+b²=c²；
（2）①若a=1，求b；②探究a與b的函數(shù)關(guān)系；
（3）△CMN面積的最大值為$\frac{25}{4}$（不寫解答過程）

Answer 1

分析 （1）過點B作BE∥AC交MO的延長線于E，連接NE，由△AOM≌△BOE，得MO=OE，AM=BE=a，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得NM=NE，只要證明△NBE是RT△即可．
（2）①根據(jù)MN²=AM²+BN²=CM²+CN²列出方程即可解決．
②方法類似①．
（3）根據(jù)S_△CMN=$\frac{1}{2}$（4-a）（8-b）=-b²+11b-24，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．

解答 （1）證明：如圖，過點B作BE∥AC交MO的延長線于E，連接NE．
∵AM∥BE，
∴∠A=∠OBE，
在△AOM和△BOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠OBE}\\{AO=BO}\\{∠AOM=∠BOE}\end{array}\right.$，
∴△AOM≌△BOE，
∴MO=OE，AM=BE=a，
∵OM⊥ON，
∴MN=NE=c，
∵∠C=90°
∴∠A+∠ABC=90°，
∴∠OBE+∠ABC=90°，
∴∠EBN=90°，
∴NE²=BN²+BE²，
∵NE=c，BE=a，BN=b，
∴a²+b²=c²．
（2）①在RT△MNC中，MN²=CM²+CN²，
∴c²=（4-a）²+（8-b）²，∵a=1，a²+b²=c²，
∴9+（8-b）²=1+b²，
∴b=$\frac{9}{2}$
②∵c²=（4-a）²+（8-b）²=a²+b²，
∴a+2b=10．
（3）S_△CMN=$\frac{1}{2}$（4-a）（8-b）=-b²+11b-24=-（b-$\frac{11}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
∴當b=$\frac{11}{2}$時，S_△CMN最大值=$\frac{25}{4}$．
故答案為$\frac{25}{4}$．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、二次函數(shù)的最值問題，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，屬于中考�？碱}型．