Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)M，且BE⊥AC．
（1）求證：BM=AC；
（2）求證：△ABC是等腰三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定

專題：證明題

分析：（1）易證AD=BD，由垂直的性質(zhì)和已知條件證明△ADC≌△BDM，所以BM=AC；
（2）由（1）可知△ADC≌△BDM，所以∠C=∠BMD，根據(jù)已知條件和三角形的外角和定理證明∠C=∠BAC即可．

解答：（1）證明：∵∠ABC=45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，
∴∠BAD=45°，
∴AD=BD，
∵BE⊥AC，
∴∠ADC=90°，
∵∠BMD+∠MBD=90°，∠AME+∠MAE=90°，
∴∠DBM=∠DAC，
在△ADC和△BDM中，

∠ADB=∠ADC ∠DBM=∠DAC AD=BD

，
∴△ADC≌△BDM（AAS），
∴BM=AC；

（2）∵△ADC≌△BDM，
∴∠C=∠BMD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠BMD=∠AME=∠BAD+∠DAC，
∴∠BMD=∠BAC，
∴∠C=∠BAC，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．

點(diǎn)評：本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)以及三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．發(fā)現(xiàn)并利用BD=AD是正確解決本題的關(guān)鍵